Formules multimagiques

Comment savoir ce que doivent théoriquement donner les sommes des lignes, colonnes et diagonales des carrés multimagiques ?

Commençons par la magie simple. Il est connu, et facile de démontrer (…sauf pour un enfant de 8 ans comme Gauss l’aurait démontré à cette âge à l’école …), que la somme des premiers nombres entiers de 1 à N est :

N(N+1)/2

Un carré magique de côté n contient tous les nombres de 1 à n². La somme des premiers nombres entiers de 1 à n² est donc :

n²(n²+1)/2

Puisqu’il y a n lignes à ce carré, il suffit de diviser par n pour savoir ce que doit être la somme magique S1 de chaque ligne, colonne ou diagonale, soit donc :

• S1 = n(n²+1)/2
   

Pour la bimagie, la somme des carrés des premiers nombres entiers de 1 à N est :

N(N+1)(2N+1)/6

En remplaçant N par n², puis en divisant par n, nous obtenons la somme S2 de chaque ligne, colonne ou diagonale, soit donc :

• S2 = n(n²+1)(2n²+1)/6 = S1*(2n²+1)/3
   

Pour la trimagie, la somme des cubes :

• S3 = n * S1²
   

Pour la tétramagie, Fermat donnait dès 1636, dans une lettre envoyée à Roberval, la solution de la somme des entiers de 1 à N élevés à la puissance 4. Voici la formule de Fermat après avoir remplacé N par n², puis divisé par n :

S4 = ((4n² + 2)*n*S1² - S2) / 5

En remplaçant (4n² +2) * S1 par 6S2, on peut écrire plus simplement que Fermat :

• S4 = S2 * (6n * S1 - 1) / 5
   

Pour la pentamagie (somme des puissances 5) :

• S5 = (3n*S2² - S3) / 2
   

Si l’on préfère développer Sp, cela donne le tableau suivant, tableau généreux puisqu’il permet de calculer jusqu’aux sommes des futurs carrés hexa, hepta et octomagiques :

Pour calculer Sp lorsque le carré p-magique de côté n contient les nombres de 0 à n²-1 (au lieu de 1 à n²), il suffit de mettre le signe – (au lieu du signe + rouge) dans la 2ème colonne ci-dessus. Vous remarquerez que la 1ère colonne de Sp est égale à (1/(p+1)) n^(2p+1). Cette particularité est connue depuis le milieu du XVIIème siècle, grâce à Pascal qui a consacré un Traité au sujet. Jacques Bernoulli s’intéressa ensuite à cette question de la somme des puissances d’entiers, et suite à son Ars conjectandi paru après sa mort début XVIIIème, les nombres utilisés dans ce développement s’appellent maintenant nombres de Bernoulli (1/6, -1/30, 1/42, -1/30, 5/66, …).

Voici ce que donnent ces formules pour quelques tailles de carrés p-multimagiques de côté n, contenant les nombres de 1 à n². On y trouve les sommes du carré bimagique 8x8 de Pfeffermann, bimagique 9x9 de Pfeffermann, et trimagique 32x32 de William Benson :

Et voici ce que donnent ces formules pour quelques tailles de carrés p-multimagiques de côté n, contenant les nombres de 0 à n²-1. On y trouve les sommes des 2 carrés tétramagique 512x512 et pentamagique 1024x1024 de notre record.

Bibliographie

Pour plus de détails sur les sommes de puissances, voir l’excellent chapitre 14 « Sommation des puissances numériques », livre II de la Théorie des Nombres d’Edouard Lucas, Librairie Blanchard, Paris.

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