Formules multimagiques


Comment savoir ce que doivent théoriquement donner les sommes des lignes, colonnes et diagonales des carrés multimagiques ?

Commençons par la magie simple. Il est connu, et facile de démontrer (…sauf pour un enfant de 8 ans comme Gauss l’aurait démontré à cette âge à l’école …), que la somme des premiers nombres entiers de 1 à N est :

Un carré magique de côté n contient tous les nombres de 1 à n². La somme des premiers nombres entiers de 1 à n² est donc :

Puisqu’il y a n lignes à ce carré, il suffit de diviser par n pour savoir ce que doit être la somme magique S1 de chaque ligne, colonne ou diagonale, soit donc :


Pour la bimagie, la somme des carrés des premiers nombres entiers de 1 à N est :

En remplaçant N par n², puis en divisant par n, nous obtenons la somme S2 de chaque ligne, colonne ou diagonale, soit donc :


Pour la trimagie, la somme des cubes :


Pour la tétramagie, Fermat donnait dès 1636, dans une lettre envoyée à Roberval, la solution de la somme des entiers de 1 à N élevés à la puissance 4. Voici la formule de Fermat après avoir remplacé N par n², puis divisé par n :

En remplaçant (4n² +2) * S1 par 6S2, on peut écrire plus simplement que Fermat :


Pour la pentamagie (somme des puissances 5) :


Si l’on préfère développer Sp, cela donne le tableau suivant, tableau généreux puisqu’il permet de calculer jusqu’aux sommes des futurs carrés hexa, hepta et octomagiques :

  • S1 = (1/2) n^3   + (1/2) n
  • S2 = (1/3) n^5   + (1/2) n^3   +  (1/6) n
  • S3 = (1/4) n^7   + (1/2) n^5   +  (1/4) n^3
  • S4 = (1/5) n^9   + (1/2) n^7   +  (1/3) n^5   - (1/30) n
  • S5 = (1/6) n^11  + (1/2) n^9   + (5/12) n^7   - (1/12) n^3
  • S6 = (1/7) n^13  + (1/2) n^11  +  (1/2) n^9   -  (1/6) n^5  + (1/42) n
  • S7 = (1/8) n^15  + (1/2) n^13  + (7/12) n^11  - (7/24) n^7  + (1/12) n^3
  • S8 = (1/9) n^17  + (1/2) n^15  +  (2/3) n^13  - (7/15) n^9  +  (2/9) n^5  - (1/30) n

Pour calculer Sp lorsque le carré p-magique de côté n contient les nombres de 0 à n²-1 (au lieu de 1 à n²), il suffit de mettre le signe – (au lieu du signe + rouge) dans la 2ème colonne ci-dessus. Vous remarquerez que la 1ère colonne de Sp est égale à (1/(p+1)) n^(2p+1). Cette particularité est connue depuis le milieu du XVIIème siècle, grâce à Pascal qui a consacré un Traité au sujet. Jacques Bernoulli s’intéressa ensuite à cette question de la somme des puissances d’entiers, et suite à son Ars conjectandi paru après sa mort début XVIIIème, les nombres utilisés dans ce développement s’appellent maintenant nombres de Bernoulli (1/6, -1/30, 1/42, -1/30, 5/66, …).


Voici ce que donnent ces formules pour quelques tailles de carrés p-multimagiques de côté n, contenant les nombres de 1 à n². On y trouve les sommes du carré bimagique 8x8 de Pfeffermann, bimagique 9x9 de Pfeffermann, et trimagique 32x32 de William Benson :

Sp

Carré 3x3

Carré 4x4

Carré 5x5

Carré 6x6

Carré 7x7

Carré 8x8

Carré 9x9

...

Carré 32x32

S1

15

34

65

111

175

260

369

...

16400

S2

95

374

1105

2701

5775

11180

20049

...

11201200

S3

675

4624

21125

73926

214375

540800

1225449

...

8606720000

 


Et voici ce que donnent ces formules pour quelques tailles de carrés p-multimagiques de côté n, contenant les nombres de 0 à n²-1. On y trouve les sommes des 2 carrés tétramagique 512x512 et pentamagique 1024x1024 de notre record.

Sp

Carré 32x32

Carré 512x512

Carré 1024x1024

S1

16368

67108608

536870400

S2

11168432

11728056920832

375299432076800

S3

8573165568

2305825417061203968

295147342229667840000

S4

7019705733392

483565716171561366524160

247587417561640996243120640

S5

5987221633671168

105636341097042573844228866048

216345083469423421673932062720000

 


Bibliographie

Pour plus de détails sur les sommes de puissances, voir l’excellent chapitre 14 « Sommation des puissances numériques », livre II de la Théorie des Nombres d’Edouard Lucas, Librairie Blanchard, Paris.


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