Qu'est-ce qu'un carré multimagique ?
Un carré magique est dit bimagique (ou 2-multimagique) si il reste magique après avoir élevé au carré chacun de ses nombres.
Par extension, un carré est dit P-multimagique si les P carrés formés en remplaçant chacun des nombres par leur puissance k (pour k=1, 2, ..., jusqu'à P) sont tous magiques.
Rappelons ce qu’est un carré magique. Il s’agit d’un carré de côté n (ou d'ordre n) dans lequel on est arrivé à placer tous les nombres de 1 à n², de façon à ce que les sommes des n lignes, n colonnes et 2 diagonales soient toutes égales. Voici l’exemple du plus petit carré magique (excepté le trivial carré de côté 1), carré qui aurait été découvert par les chinois plus de 2000 ans avant Jésus-Christ ! Etant de côté 3, il contient tous les chiffres de 1 à 9.
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4 |
3 |
8 |
=15 |
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9 |
5 |
1 |
=15 |
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2 |
7 |
6 |
=15 |
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=15 |
=15 |
=15 |
=15 |
=15 |
Vous pouvez ici facilement contrôler que toutes les sommes du carré chinois sont égales à 15. Il est facile de démontrer que les sommes d’un carré magique de côté n doivent être égales à n(n² + 1)/2, soit donc dans ce cas : 3(3² + 1) / 2 = 15.
L'idée des carrés multimagiques démarre à la fin du XIXème siècle avec la découverte en France des premiers carrés bimagiques (ou 2-multimagique). Un carré magique est bimagique si il reste magique après avoir élevé tous ses éléments au carré. Regardons ce que cela donne sur le carré chinois :
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4² |
3² |
8² |
=? |
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9² |
5² |
1² |
=? |
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2² |
7² |
6² |
=? |
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=? |
=? |
=? |
=? |
=? |
soit donc :
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16 |
9 |
64 |
=89 |
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81 |
25 |
1 |
=107 |
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4 |
49 |
36 |
=89 |
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=93 |
=101 |
=83 |
=101 |
=77 |
Le carré magique chinois est donc loin d'être bimagique puisque les sommes des éléments élevés au carré varient entre 77 et 107 ! G. Pfeffermann sera le premier à construire un carré bimagique en 1890. Ce premier carré bimagique est du coup le premier carré multimagique de l'histoire.
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