Méthodes de construction

Voici le secret utilisé pour obtenir ces carrés tétra et pentamagiques, la méthode Viricel-Boyer qui vous permettra de calculer vous-même vos propres carrés multimagiques :

• Démarrer par le coin haut gauche, en choisissant deux nombres N1 et N2, différents et non nuls
• Calculer la ligne 0 et la colonne 0, à l’aide de la multiplication numérale « @ »
• Puis calculer les autres lignes et colonnes, à l’aide de l’addition numérale « & » des éléments de la ligne 0 et de la colonne 0
   

La notation (a,b) indique un nombre décomposé dans la base n (n étant le côté du carré).

Prenons maintenant l’exemple de notre carré tétramagique. Regardons son coin haut gauche :

0	139938
140551	1957

    N1 = 139938 = 273*512(taille du carré) + 162      Donc (a,b) = (273,162)
    N2 = 140551 = 274*512(taille du carré) + 263      Donc (c,d) = (274,263)

Nous ne connaissons pas actuellement les règles exactes qui permettent de savoir si un couple N1 et N2 va engendrer un carré multimagique. Mais vous trouverez des couples autres que 139938/140551 qui donnent également des carrés tétramagiques 512x512 : les plus petits sont 535/1103, 535/1145, etc...

Addition numérale &.

Ce que l’on appelle ici l’addition numérale « & »est bien connue des informaticiens : il s’agit du OU EXCLUSIF.

&	0	1
0	0	1
1	1	0

    139938 =          100010001010100010 (en base 2)
    140551 =          100010010100000111 (en base 2)
    139938 & 140551 = 000000011110100101 (en base 2) = 1957 (en base 10).

Et 1957 est bien le nombre que l’on retrouve dans le carré tétramagique vu ci-dessus, sous le nombre 139938

Multiplication numérale @.

Calculons l’avant-dernière cellule de la ligne 0 de notre carré tétramagique.

Elle vaut donc 510@(273,162). Commençons par calculer 510@273 :

    510 =   111111110 (en base 2)
    273 =   100010001 (en base 2)

La multiplication numérale se calcule comme la multiplication classique que l’on apprend à l’école, sauf que l’addition finale effectuée n’est pas classique, mais numérale (donc « ou exclusif » binaire). Cela donne :

           111111110
         @ 100010001
           111111110
     & 111111110
 & 111111110        
= 011110000000011110

Pour conclure la multiplication et afin que le nombre reste de la même taille que ses deux opérandes (inférieurs à 512, donc codés sur 9 bits), on effectue une addition numérale supplémentaire des parties gauche et droite du résultat, soit donc :

  011110000
& 000011110
= 011101110

Le résultat de 510@273 est donc 11101110 en base 2, soit donc 238 dans notre bonne vieille base 10. Si, par la même méthode, on calcule 510@162, on trouvera 349.

Le résultat de 510@(273,162) est donc (238,349) = 238*512 + 349 = 122205.

Regardons le coin haut droit de notre carré tétramagique. On retrouve bien ce nombre dans l’avant-dernière cellule de la ligne 0 :

122205	262143
260186	121592

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