Premiers nombres polygonaux
Plus petits carrés magiques de nombres triangulaires (et de nombres polygonaux)
Premiers nombres polygonaux
En 1941, Royal Vale Heath proposait ce court problème E 496 dans The American Mathematical Monthly:
Quelle est la plus petite valeur de n pour laquelle les n² nombres triangulaires 0, 1, 3, 6, 10, …, n²(n² - 1)/2 peuvent être arrangés pour former un carré magique ?
Avec seulement la preuve de n £ 8, ce problème était resté non résolu. "Mieux vaut tard que jamais", voici la solution trouvée en avril 2007... 66 ans plus tard :
n = 6.
Ma solution a été publiée dans le numéro d'octobre 2007 The American Mathematical
Monthly, incluant cet exemple :
|
0 |
406 |
120 |
528 |
105 |
136 |
|
1 |
300 |
435 |
378 |
171 |
10 |
|
66 |
276 |
496 |
15 |
91 |
351 |
|
595 |
78 |
153 |
28 |
210 |
231 |
|
3 |
190 |
55 |
21 |
465 |
561 |
|
630 |
45 |
36 |
325 |
253 |
6 |
A ce sujet, lire aussi l'article Mathematical Tourist écrit en novembre 2007 par Ivars Peterson :
http://www.maa.org/mathtourist/mathtourist_11_7_07.html
Ma solution a également été publiée dans les numéros de janvier 2008 de Pour
La Science (page 31) et Sciences et Avenir (page 20).
|
p |
Carrés magiques |
utilisant des nombres p-polygonaux consécutifs |
utilisant des nombres p-polygonaux distincts |
|
|
Plus petit ordre n possible |
Plus petit ordre n possible |
Plus petit ordre n connu |
||
|
3 |
de nombres triangulaires |
6 (**, par C. Boyer, 2007) |
Inconnu ! (peut-être 3?) |
4 (**, par C. Boyer, 2007) |
|
4 |
de carrés |
7 (*, par C. Boyer, 2007) |
Inconnu ! (peut-être 3?) |
4 (*, par L. Euler, 1770) |
|
5 |
de nombres pentagonaux |
7 (**, par C. Boyer, 2007) |
Inconnu ! (peut-être 3?) |
4 (**, par L. Morgenstern, 2007) |
|
6 |
de nombres hexagonaux |
7 (***, par C. Boyer, 2007) |
Inconnu ! (peut-être 3?) |
4 (***, par L. Morgenstern, 2013) |
|
7 |
de nombres heptagonaux |
Inconnu ! (peut-être 3?) |
||
|
8 |
de nombres octogonaux |
Inconnu ! (peut-être 3?) |
4 (***, par L. Morgenstern, 2014) |
|
|
9 |
de nombres nonagonaux |
Inconnu ! (peut-être 3?) |
||
|
10 |
de nombres décagonaux |
Inconnu ! (peut-être 3?) |
||
(*) Des exemples de ces carrés sont donnés ici
(**)
Des exemples de ces carrés sont donnés dans ma solution étendue ci-dessous
(***)
Des exemples de ces carrés sont donnés plus
bas
Un texte plus détaillé que la version publiée dans le Monthly est disponible en deux formats :
Dans cette solution étendue vous verrez :
Plus petits carrés magiques de nombres hexagonaux à décagonaux
Charles W. Trigg a publié dans School
Science and Mathematics et dans le Journal of Recreational Mathematics
ses carrés magiques d'ordre 8 de nombres hexagonaux à décagonaux, voir références.
Mais
il est possible de construire de plus petit carrés. Dans la solution
étendue vue plus haut, mes carrés magiques d'ordre 7 de nombres hexagonaux
à décagonaux sont annoncés mais pas donnés, car "il pourrait être ennuyeux de donner tous mes exemples". Après
des questions de quelques lecteurs de ce site, voici révélés mes carrés d'ordre
7, le plus petit ordre possible pour des carrés magiques de nombres hexagonaux
à décagonaux.
|
4560 |
703 |
3321 |
0 |
120 |
561 |
1431 |
|
2850 |
28 |
630 |
1 |
3160 |
2701 |
1326 |
|
231 |
15 |
2016 |
4371 |
1540 |
378 |
2145 |
|
91 |
45 |
3003 |
276 |
861 |
4005 |
2415 |
|
2278 |
3828 |
66 |
2556 |
1035 |
153 |
780 |
|
190 |
4186 |
435 |
3486 |
325 |
1128 |
946 |
|
496 |
1891 |
1225 |
6 |
3655 |
1770 |
1653 |
|
0 |
235 |
4995 |
5452 |
1782 |
81 |
783 |
|
4141 |
3186 |
286 |
148 |
469 |
4558 |
540 |
|
3940 |
34 |
403 |
189 |
2356 |
4347 |
2059 |
|
5221 |
55 |
874 |
2673 |
2512 |
342 |
1651 |
|
1 |
4774 |
112 |
616 |
3744 |
1071 |
3010 |
|
18 |
2839 |
970 |
3553 |
1177 |
1404 |
3367 |
|
7 |
2205 |
5688 |
697 |
1288 |
1525 |
1918 |
|
0 |
40 |
1160 |
4961 |
4485 |
1281 |
4033 |
|
1 |
6816 |
96 |
3201 |
4720 |
645 |
481 |
|
8 |
225 |
4256 |
833 |
1825 |
3605 |
5208 |
|
341 |
5985 |
5720 |
560 |
1541 |
1680 |
133 |
|
6533 |
21 |
176 |
2296 |
1408 |
5461 |
65 |
|
2821 |
2465 |
3816 |
2133 |
1045 |
280 |
3400 |
|
6256 |
408 |
736 |
1976 |
936 |
3008 |
2640 |
|
7291 |
2871 |
261 |
0 |
1956 |
3729 |
2484 |
|
325 |
4699 |
111 |
396 |
2125 |
3961 |
6975 |
|
1350 |
6364 |
856 |
4446 |
3286 |
651 |
1639 |
|
46 |
1216 |
6666 |
1 |
5500 |
204 |
4959 |
|
154 |
1794 |
3075 |
5781 |
750 |
6069 |
969 |
|
4200 |
559 |
9 |
7944 |
2301 |
3504 |
75 |
|
5226 |
1089 |
7614 |
24 |
2674 |
474 |
1491 |
|
976 |
0 |
6280 |
9072 |
1387 |
232 |
3277 |
|
7965 |
27 |
3510 |
855 |
2835 |
370 |
5662 |
|
637 |
1105 |
4000 |
5076 |
8326 |
540 |
1540 |
|
85 |
8695 |
10 |
3751 |
52 |
6930 |
1701 |
|
7267 |
4795 |
4257 |
2047 |
2232 |
175 |
451 |
|
3052 |
1 |
2425 |
297 |
1870 |
7612 |
5967 |
|
1242 |
6601 |
742 |
126 |
4522 |
5365 |
2626 |
En janvier 2013, Lee Morgenstern a construit ces carrés magiques d'ordre 4, le plus petit ordre connu pour des carrés de nombres hexagonaux et heptagonaux distincts. Les carrés d'ordre 4 de nombres octogonaux à décagonaux distincts sont inconnus.
|
984906 |
246051 |
3044278 |
72010 |
|
1540 |
3194128 |
141246 |
1010331 |
|
115921 |
889111 |
122760 |
3219453 |
|
3244878 |
17955 |
1038961 |
45451 |
|
57233385 |
4294836 |
5312223 |
28962934 |
|
21707602 |
37727235 |
7592508 |
28776033 |
|
7359066 |
49744611 |
739024 |
37960677 |
|
9503325 |
4036696 |
82159623 |
103734 |
Et en novembre 2014, il a rajouté ces carrés de nombres octoganaux, nonagonaux et décagonaux :
|
2896901 |
469656 |
150080 |
1301525 |
|
857605 |
1686000 |
1297576 |
976981 |
|
446216 |
1601621 |
232965 |
2537360 |
|
617440 |
1060885 |
3137541 |
2296 |
|
49366986 |
5875416 |
432784 |
105284575 |
|
88188850 |
10861849 |
13249341 |
48659721 |
|
19339326 |
38361246 |
98487325 |
4771864 |
|
4064599 |
105861250 |
48790311 |
2243601 |
|
43893937 |
6478297 |
503035 |
105252210 |
|
93881565 |
7835800 |
8911717 |
45498397 |
|
14177107 |
37788682 |
101591280 |
2570410 |
|
4174870 |
104024700 |
45121447 |
2806462 |
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