Premiers carrés magiques connus de carrés (4x4 à 7x7)
Voir aussi la page des Carrés magiques de carrés

Est-ce qu'un carré magique 3x3 peut être construit avec neuf nombres carrés distincts ? La réponse est aujourd'hui inconnue : personne n'a réussi à construire un carré magique 3x3 de carrés, et personne n'a prouvé qu'il est impossible de construire un tel carré. Voir mon article dans The Mathematical Intelligencer, et le fichier Powerpoint de la conférence.

Mais il est possible de construire d'autres carrés magiques de carrés :

• Les bien connus carrés bimagiques 8x8 (et plus) sont bien sûr des carrés magiques de carrés puisque, par définition, ils restent magiques quand leurs nombres sont élevés au carré. Et, comme demandé, tous leurs nombres sont distincts puisqu'ils utilisent des entiers consécutifs. Hélas, il est impossible de construire des carrés bimagiques 7x7 (et moins) utilisant des entiers consécutifs.
• Entre l'inconnu 3x3 et les bien connus bimagiques 8x8 (et plus), des carrés magiques 4x4 à 7x7 sont aujourd'hui connus comme je vais le montrer dans cette page.

A ce sujet, lire aussi l'article MathTrek écrit en juin 2005 par Ivars Peterson:

• ...à...  http://www.sciencenews.org/view/generic/id/6308/title/Math_Trek__Magic_Squares_of_Squares
• ou ...à...  http://www.maa.org/mathland/mathtrek_06_27_05.html

Carrés magiques 4x4 de carrés

Le premier carré magique connu de carrés a été envoyé en 1770 par Leonhard Euler à Joseph Lagrange. C'est le carré LE2 complètement expliqué et décrit dans l'article du M.I. (et conférence transparents 22 et 23).

1770 : carré magique 4x4 de carrés, par Leonhard Euler.
S2 = 8515

68²	29²	41²	37²
17²	31²	79²	32²
59²	28²	23²	61²
11²	77²	8²	49²

Ce carré peut être construit avec sa merveilleuse solution paramétrique 4x4 et (a, b, c, d, p, q, r, s) = (5, 5, 9, 0, 6, 4, 2, -3). Ou aussi (5, 5, 9, 0, 2, 3, 6, –4), donnant le même carré mais permuté. Extrait de mon article M.I. publié en 2005 :

"The work of Euler is linked to the theory of quaternions [2] [15] [36] [37] developed later in 1843 by William Hamilton. In his (LE3) square, Euler reused an identity that he found and sent to Christian Goldbach in 1748 [21]:

    (a² + b² + c² + d²)(p² + q² + r² + s²) = (ap + bq + cr + ds)² + (aq - bp - cs + dr)² + (ar + bs - cp - dq)² + (as - br + cq - dp)²

This identity also follows from the fact that the norm of the product of two quaternions is the product of the norms. Euler first used this identity in 1754 [17] in a partial proof that every positive integer is the sum or at most four square integers, an old conjecture announced by Diophantus, Bachet, and Fermat. Using as a basis these partial results of Euler's, Lagrange published in 1770 [55] the first complete proof of this four square theorem, the same year as the letter he received with the first 4x4 magic square of squares".

Dans cet article et son supplément de 2005, je donnais deux sous-familles (CB2) et (CB15) de la solution paramétrique d'Euler, mais utilisant un seul paramètre k au lieu des huit paramètres (a, b, c, d, p, q, r, s) d'Euler. Avec k = 5, ma sous-famille (CB15) produit l'exemple Euler-Lagrange ci-dessus.

En novembre 2018, Seiji Tomita, Japon, a trouvé 11 autres solutions paramétriques aussi utilisant un seul paramètre k, un excellent ensemble de solutions. Comme c'était le cas avec mes deux solutions paramétriques, pour chaque k, on doit aussi vérifier que les 16 cellules produites sont distinctes. Et comme c'était le cas avec mes deux solutions paramétriques, je remarque que ses 11 solutions sont aussi des sous-familles du carré paramétrique d'Euler (a, b, c, d, p, q, r, s) avec b = k et d = 0 :

1. (9, k, 16, 0, 1, 2, 6, -3)
2. (5, k, 16, 0, 2, 3, 9, -6)
3. (7, k, 18, 0, 3, 4, 8, -6)
4. (5/2, k, 9/2, 0, 1, 3, 15, -5)
5. (5, k, 7, 0, 2, 4, 10, -5)
6. (2, k, 5, 0, 3, 5, 15, -9)
7. (5/2, k, 7/2, 0, 3, 7, 21, -9)
8. (5, k, 16, 0, 1, 2, 10, -5)
9. (2, k, 9, 0, 2, 3, 12, -8)
10. (1, k, 7, 0, 2, 3, 18, -12)
11. (7, k, 10, 0, 6, 8, 12, -9)

Carrés magiques 5x5 de carrés

J'ai construit en 2004 les premiers carrés magiques 5x5 de carrés. Carrés CB4 et CB5 publiés dans l'article du M.I. (et conférence transparent 17). Le plus petit possible est CB4:

2004 : carré magique 5x5 de carrés.
S2 = 1375

1²	2²	31²	3²	20²
22²	16²	13²	5²	21²
11²	23²	10²	24²	7²
12²	15²	9²	27²	14²
25²	19²	8²	6²	17²

Carrés magiques 6x6 de carrés

Hélas trop tard pour être publiés dans l'article du M.I., j'ai construit en juin 2005 les premiers carrés magiques 6x6 de carrés.

Sauf erreur de ma part, les carrés magiques 6x6 de carrés utilisant des entiers carrés consécutifs (0² à 35², ou 1² à 36²) sont impossibles. Mon carré magique 6x6 de carrés n'utilise PAS des entiers consécutifs carrés... mais il est intéressant de remarquer les nombres utilisés :

• de 0² à 36² en excluant seulement 30².

Il est impossible de construire des carrés magiques 6x6 de carrés avec une plus petite somme magique. Mais il est possible de construire d'autres exemples avec la même somme magique S2 = 2551, ou avec d'autres sommes plus grosses.

2005 : carré magique 6x6 de carrés. S2 = 2551.

2²	1²	36²	5²	0²	35²
6²	33²	20²	29²	4²	13²
25²	7²	14²	24²	31²	12²
21²	32²	11²	15²	22²	16²
34²	18²	23²	10²	19²	9²
17²	8²	3²	28²	27²	26²

Une caractéristique intéressante supplémentaire de cet exemple : les 3 plus petits entiers (0², 1², 2²) et les 2 plus gros (35², 36²) sont utilisés ensemble dans la première ligne.

Carrés magiques 7x7 de carrés

Hélas trop tard pour être publiés dans l'article du M.I., j'ai construit en juin 2005 les premiers carrés magiques 7x7 de carrés.

Le plus petit ordre permettant des carrés magiques de carrés utilisant des entiers carrés consécutifs est cet ordre 7. Une conséquence indirecte : l'impossibilité des carrés bimagiques 7x7 ne provient pas d'un problème avec les nombres au carré !

Voici mon exemple utilisant les entiers carrés de 0² à 48² :

2005 : carré magique 7x7 de carrés. S2 = 5432

25²	45²	15²	14²	44²	5²	20²
16²	10²	22²	6²	46²	26²	42²
48²	9²	18²	41²	27²	13²	12²
34²	37²	31²	33²	0²	29²	4²
19²	7²	35²	30²	1²	36²	40²
21²	32²	2²	39²	23²	43²	8²
17²	28²	47²	3²	11²	24²	38²

Une caractéristique intéressante supplémentaire ajoutée dans cet exemple : les 7 lignes sont magiques (S1=168) quand les entiers ne sont pas élevés au carré, ce qui signifie que les 7 lignes sont bimagiques !

Conclusion de cette page: puisque les cas 4x4 et au-dessus sont maintenant résolus, cela signifie que 3x3 est le seul problème restant ouvert (mais le plus difficile...) sur les carrés magiques de carrés !

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