Carrés
magiques 8x8 et 9x9 de cubes
Carrés magiques 8x8 et 9x9 de puissances 4
Carrés magiques 8x8 et
9x9 de puissances 5
Voir aussi la page générale des Carrés
magiques de cubes
Dans ce carré semi-magique 8x8 de cubes utilisant des entiers positifs de 1 à 65, par Lee Morgenstern, seulement 57 est absent. Ce n'est pas un carré magique : ses diagonales ne sont pas magiques.
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65 3 |
64 3 |
9 3 |
12 3 |
6 3 |
23 3 |
7 3 |
3 3 |
|
2 3 |
29 3 |
63 3 |
25 3 |
45 3 |
13 3 |
51 3 |
33 3 |
|
20 3 |
48 3 |
19 3 |
62 3 |
17 3 |
15 3 |
52 3 |
34 3 |
|
28 3 |
22 3 |
38 3 |
32 3 |
61 3 |
37 3 |
41 3 |
44 3 |
|
10 3 |
11 3 |
60 3 |
40 3 |
27 3 |
42 3 |
30 3 |
53 3 |
|
43 3 |
21 3 |
26 3 |
46 3 |
24 3 |
59 3 |
16 3 |
50 3 |
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8 3 |
31 3 |
18 3 |
35 3 |
58 3 |
54 3 |
14 3 |
49 3 |
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55 3 |
47 3 |
4 3 |
39 3 |
5 3 |
36 3 |
56 3 |
1 3 |
Après une longue et difficile recherche, les premiers carrés magiques 8x8 de cubes ont été construits par Walter Trump, Allemagne, en août et septembre 2008. Voici ses deux carrés magiques de cubes.
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11 3 |
9 3 |
15 3 |
61 3 |
18 3 |
40 3 |
27 3 |
68 3 |
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3 3 |
56 3 |
12 3 |
25 3 |
49 3 |
38 3 |
65 3 |
16 3 |
|
21 3 |
34 3 |
64 3 |
57 3 |
32 3 |
24 3 |
45 3 |
14 3 |
44 3 |
4 3 |
8 3 |
48 3 |
54 3 |
66 3 |
13 3 |
9 3 |
|
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38 3 |
3 3 |
58 3 |
8 3 |
66 3 |
2 3 |
46 3 |
10 3 |
27 3 |
67 3 |
21 3 |
30 3 |
6 3 |
11 3 |
33 3 |
63 3 |
|
|
63 3 |
31 3 |
41 3 |
30 3 |
13 3 |
42 3 |
39 3 |
50 3 |
10 3 |
52 3 |
51 3 |
45 3 |
50 3 |
36 3 |
15 3 |
47 3 |
|
|
37 3 |
51 3 |
12 3 |
6 3 |
54 3 |
65 3 |
23 3 |
19 3 |
58 3 |
19 3 |
24 3 |
17 3 |
60 3 |
20 3 |
37 3 |
53 3 |
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|
47 3 |
36 3 |
43 3 |
33 3 |
29 3 |
59 3 |
52 3 |
4 3 |
23 3 |
14 3 |
61 3 |
62 3 |
28 3 |
43 3 |
32 3 |
31 3 |
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55 3 |
53 3 |
20 3 |
49 3 |
25 3 |
16 3 |
5 3 |
56 3 |
41 3 |
26 3 |
57 3 |
46 3 |
18 3 |
1 3 |
59 3 |
40 3 |
|
|
1 3 |
62 3 |
26 3 |
35 3 |
48 3 |
7 3 |
60 3 |
22 3 |
64 3 |
2 3 |
42 3 |
39 3 |
5 3 |
55 3 |
34 3 |
35 3 |
Afin d'atteindre la puissance 4, avec :
on peut construire ce carré semi-magique, somme Sn = uvw:
|
(aei)n |
(afi)n |
(agj)n |
(ahj)n |
(bgk)n |
(bhk)n |
(bel)n |
(bfl)n |
|
(bei)n |
(bfi)n |
(bgj)n |
(bhj)n |
(agk)n |
(ahk)n |
(ael)n |
(afl)n |
|
(cej)n |
(cfj)n |
(cgi)n |
(chi)n |
(dgl)n |
(dhl)n |
(dek)n |
(dfk)n |
|
(dej)n |
(dfj)n |
(dgi)n |
(dhi)n |
(cgl)n |
(chl)n |
(cek)n |
(cfk)n |
|
(cfl)n |
(cel)n |
(chk)n |
(cgk)n |
(dhj)n |
(dgj)n |
(dfi)n |
(dei)n |
|
(dfl)n |
(del)n |
(dhk)n |
(dgk)n |
(chj)n |
(cgj)n |
(cfi)n |
(cei)n |
|
(afk)n |
(aek)n |
(ahl)n |
(agl)n |
(bhi)n |
(bgi)n |
(bfj)n |
(bej)n |
|
(bfk)n |
(bek)n |
(bhl)n |
(bgl)n |
(ahi)n |
(agi)n |
(afj)n |
(aej)n |
Avec :
on obtient la (grosse) plus petite solution possible avec cette méthode :
|
797094 |
27214934 |
27047964 |
39107564 |
63503364 |
91816964 |
2842424 |
97048344 |
|
2134584 |
72880664 |
72433524 |
104728724 |
23713284 |
34286084 |
1061414 |
36239574 |
|
2718524 |
92818044 |
40300334 |
58268634 |
54067664 |
78174264 |
2401284 |
81986564 |
|
2738964 |
93515924 |
40603344 |
58706744 |
53664174 |
77590874 |
2383364 |
81374724 |
|
81692594 |
2392674 |
77288964 |
53455364 |
88820564 |
61430964 |
61810184 |
1810344 |
|
82306824 |
2410664 |
77870084 |
53857284 |
88157724 |
60972524 |
61348914 |
1796834 |
|
36098564 |
1057284 |
34420014 |
23805914 |
69221384 |
47875584 |
110265044 |
3229524 |
|
96670724 |
2831364 |
92175624 |
63751424 |
25848494 |
17877594 |
41174924 |
1205964 |
Mais, encore une fois, les diagonales ne peuvent être magiques avec cette méthode.
Qui sera le premier à construire un carré magique 8x8 de puissances 4 ? Ou à prouver que c'est impossible ?
Qui sera le premier à construire un carré magique 8x8 de puissances 5 ? Ou à prouver que c'est impossible ?
Carrés
magiques 9x9 de cubes
Carrés magiques 9x9 de puissances 4
Carrés magiques 9x9 de puissances 5
Lee Morgenstern a trouvé une méthode de construction de carrés semi-magiques 9x9 de cubes (ou de puissances n). Si les deux équations (9.1) (9.2) sont vraies :
alors ce carré est un carré semi-magique de puissances n, somme magique Sn = uv:
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(aj)n |
(bj)n |
(cj)n |
(dk)n |
(ek)n |
(fk)n |
(gl)n |
(hl)n |
(il)n |
|
(ak)n |
(bk)n |
(ck)n |
(dl)n |
(el)n |
(fl)n |
(gj)n |
(hj)n |
(ij)n |
|
(al)n |
(bl)n |
(cl)n |
(dj)n |
(ej)n |
(fj)n |
(gk)n |
(hk)n |
(ik)n |
|
(bm)n |
(cm)n |
(am)n |
(ep)n |
(fp)n |
(dp)n |
(hq)n |
(iq)n |
(gq)n |
|
(bp)n |
(cp)n |
(ap)n |
(eq)n |
(fq)n |
(dq)n |
(hm)n |
(im)n |
(gm)n |
|
(bq)n |
(cq)n |
(aq)n |
(em)n |
(fm)n |
(dm)n |
(hp)n |
(ip)n |
(gp)n |
|
(cr)n |
(ar)n |
(br)n |
(fs)n |
(ds)n |
(es)n |
(it)n |
(gt)n |
(ht)n |
|
(cs)n |
(as)n |
(bs)n |
(ft)n |
(dt)n |
(et)n |
(ir)n |
(gr)n |
(hr)n |
|
(ct)n |
(at)n |
(bt)n |
(fr)n |
(dr)n |
(er)n |
(is)n |
(gs)n |
(hs)n |
Quelques mois plus tard, je construisais -sans utiliser la méthode précédente- le premier carré magique 9x9 connu de cubes. Il utilise les 81 premiers cubes, de 13 à 813. Une propriété supplémentaire : les 9 lignes (et 3 colonnes) sont magiques quand les nombres ne sont pas élevés au cube, S1=369.
C'est probablement le plus petit carré magique "normal" de cubes, utilisant les premiers cubes consécutifs, les carrés magiques "normaux" 8x8, ou plus petits, semblant impossibles.
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53 3 |
2 3 |
68 3 |
72 3 |
19 3 |
62 3 |
28 3 |
49 3 |
16 3 |
|
9 3 |
70 3 |
40 3 |
12 3 |
24 3 |
30 3 |
78 3 |
50 3 |
56 3 |
|
27 3 |
36 3 |
8 3 |
69 3 |
34 3 |
58 3 |
39 3 |
17 3 |
81 3 |
|
1 3 |
11 3 |
23 3 |
47 3 |
71 3 |
76 3 |
45 3 |
43 3 |
52 3 |
|
75 3 |
63 3 |
33 3 |
25 3 |
42 3 |
22 3 |
21 3 |
74 3 |
14 3 |
|
65 3 |
73 3 |
7 3 |
41 3 |
6 3 |
66 3 |
54 3 |
31 3 |
26 3 |
|
51 3 |
13 3 |
35 3 |
4 3 |
55 3 |
15 3 |
60 3 |
77 3 |
59 3 |
|
3 3 |
57 3 |
64 3 |
32 3 |
80 3 |
29 3 |
48 3 |
10 3 |
46 3 |
|
61 3 |
20 3 |
79 3 |
67 3 |
38 3 |
5 3 |
44 3 |
18 3 |
37 3 |
Il est aussi possible de construire un carré magique 9x9 de cubes utilisant les nombres de 03 to 803. Comme dans le précédent carré, ses 9 colonnes sont également magiques quand les nombres ne sont pas élevés au carré, S1=360.
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0 3 |
11 3 |
14 3 |
57 3 |
76 3 |
60 3 |
49 3 |
50 3 |
43 3 |
|
69 3 |
10 3 |
45 3 |
40 3 |
70 3 |
38 3 |
2 3 |
21 3 |
65 3 |
|
9 3 |
73 3 |
13 3 |
36 3 |
41 3 |
62 3 |
34 3 |
72 3 |
20 3 |
|
54 3 |
28 3 |
55 3 |
35 3 |
5 3 |
66 3 |
17 3 |
22 3 |
78 3 |
|
75 3 |
58 3 |
26 3 |
64 3 |
59 3 |
3 3 |
31 3 |
32 3 |
12 3 |
|
24 3 |
8 3 |
80 3 |
33 3 |
47 3 |
61 3 |
52 3 |
4 3 |
51 3 |
|
39 3 |
15 3 |
63 3 |
23 3 |
7 3 |
19 3 |
71 3 |
67 3 |
56 3 |
|
42 3 |
53 3 |
30 3 |
79 3 |
1 3 |
44 3 |
27 3 |
68 3 |
16 3 |
|
48 3 |
74 3 |
46 3 |
29 3 |
18 3 |
37 3 |
77 3 |
6 3 |
25 3 |
Remarques sur la méthode 9x9 de Morgenstern
En utilisant sa méthode vue plus haut pour les cubes (n=3), on ne peut pas directement utiliser les plus petits nombres Taxicab(3, 3, 3) :
car les 81 entiers générés ne seraient pas tous distincts. Si ma recherche est correcte, la plus petite solution utilisant sa méthode et produisant 81 entiers distincts est :
générant le carré:
|
4 3 |
12 3 |
104 3 |
161 3 |
460 3 |
483 3 |
561 3 |
594 3 |
627 3 |
|
23 3 |
69 3 |
598 3 |
231 3 |
660 3 |
693 3 |
68 3 |
72 3 |
76 3 |
|
33 3 |
99 3 |
858 3 |
28 3 |
80 3 |
84 3 |
391 3 |
414 3 |
437 3 |
|
24 3 |
208 3 |
8 3 |
200 3 |
210 3 |
70 3 |
648 3 |
684 3 |
612 3 |
|
30 3 |
260 3 |
10 3 |
720 3 |
756 3 |
252 3 |
144 3 |
152 3 |
136 3 |
|
108 3 |
936 3 |
36 3 |
160 3 |
168 3 |
56 3 |
180 3 |
190 3 |
170 3 |
|
416 3 |
16 3 |
48 3 |
567 3 |
189 3 |
540 3 |
551 3 |
493 3 |
522 3 |
|
702 3 |
27 3 |
81 3 |
609 3 |
203 3 |
580 3 |
304 3 |
272 3 |
288 3 |
|
754 3 |
29 3 |
87 3 |
336 3 |
112 3 |
320 3 |
513 3 |
459 3 |
486 3 |
C'est le plus petit carré possible utilisant sa méthode. Et il ne peut pas être magique : j'ai testé qu'aucun arrangement de ce carré ne permet d'obtenir au moins une diagonale magique.
En utilisant sa méthode pour les puissances 4 (n=4), on ne peut pas directement utiliser les plus petits nombres Taxicab(4, 3, 3) :
car les 81 entiers générés ne seraient pas distincts, un problème avec deux couples d'entiers : 7*34 = 17*14 = 238, et 28*9 = 12*21 = 252. Sauf erreur, les plus petites solutions (=plus petit S4 possible) produisant 81 entiers distincts utilisent le plus petit nombre Taxicab(4, 3, 3) et le plus petit nombre Taxicab(4, 3, 4) :
En combinant ces équations, on devrait être capable de générer 4 carrés, mais la deuxième équation ne peut être utilisée avec (A) = (B) = (C), ou (B) = (C) = (D), car trois couples d'entiers ne seraient pas distincts : 4*45 = 12*15 = 180, 7*32 = 28*8 = 224, et 7*45 = 21*15 = 315.
En utilisant (A) = (B) = (D), ou (A) = (C) = (D), tous les entiers sont distincts. Voici le carré utilisant (A) = (B) = (D).
|
124 |
694 |
814 |
2804 |
8404 |
11204 |
5164 |
7314 |
12474 |
|
1604 |
9204 |
10804 |
3014 |
9034 |
12044 |
364 |
514 |
874 |
|
1724 |
9894 |
11614 |
214 |
634 |
844 |
4804 |
6804 |
11604 |
|
1844 |
2164 |
324 |
7774 |
10364 |
2594 |
7654 |
13054 |
5404 |
|
8514 |
9994 |
1484 |
9454 |
12604 |
3154 |
1364 |
2324 |
964 |
|
10354 |
12154 |
1804 |
1684 |
2244 |
564 |
6294 |
10734 |
4444 |
|
6214 |
924 |
5294 |
7004 |
1754 |
5254 |
13924 |
5764 |
8164 |
|
6754 |
1004 |
5754 |
13444 |
3364 |
10084 |
6674 |
2764 |
3914 |
|
12964 |
1924 |
11044 |
6444 |
1614 |
4834 |
7254 |
3004 |
4254 |
L'autre carré, utilisant (A) = (C) = (D), a bien sûr exactement le même S4.
Qui sera le premier à construire un carré magique 9x9 de puissances 4 ? Ou à prouver que c'est impossible ?
Pour la cinquième puissance, personne ne connaît de nombre u Taxicab(5, 3, 3) :
Après une recherche exhaustive faite en mars/avril 2003, Duncan Moore n'a trouvé aucune solution u < 17716^5 = 1.745 * 10^21. Ses recherches sur divers nombres Taxicab/Cabtaxi sont résumées dans sa page http://homepage.ntlworld.com/duncan-moore/taxicab. Cela signifie qu'aujourd'hui, on ne peut pas construire de carré semi-magique 9x9 de puissances 5 en utilisant la méthode de Morgenstern.
Qui sera le premier à construire un carré magique 9x9 de puissances 5 ? Ou à prouver que c'est impossible ?
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