Carrés magiques de cubes
Carrés magiques de puissances 4
Carrés magiques de puissances 5
Voir aussi la page des Carrés magiques de carrés
Voir aussi les pages des Carrés magiques de puissances 6 et de puissance 7

Dans cette page :

Dans d'autres pages :

Résumé et tables

Extrait traduit en français de l'article Some Notes on the Magic Squares of Squares Problem, Partie 6
publié en anglais par Christian Boyer, dans The Mathematical Intelligencer, Volume 27, Numéro 2, Spring 2005, pages 52-64

"Il est implicite dans les travaux de Carmichael
qu'il ne peut y avoir de carré magique 3x3 avec des nombres
qui sont des cubes ou sont des puissance quatre."

Richard K. Guy,
Unsolved Problems in Number Theory, Troisième Edition, 2004, page 270

Les travaux d'Euler impliquent déjà qu'il ne peut y avoir de carré magique 3x3 avec des nombres qui sont des cubes. Si z3 est le nombre de la cellule centrale, alors tout alignement passant par le centre doit respecter x3 + y3 = 2z3. Euler et Legendre[39] ont démontré que x3 + y3 = kz3 est impossible avec des entiers distincts, pour k = 1, 2, 3, 4, 5. Adrien-Marie Legendre s'est trompé en annonçant que k = 6 est également impossible : Edouard Lucas a ensuite publié la solution générale pour k = 6 dans l'American Journal of Mathematics Pure and Applied de J.J. Sylvester[41], et a donné l'exemple 173 + 373 = 6×213. L'équation x3 + y3 = 7z3 était connue possible depuis Fermat, un de ses exemples étant 43 + 53 = 7×33.

Legendre a aussi montré que x4 + y4 = 2z2 est impossible si x ¹ y. Puisque z4 = (z2)2, cela implique qu'il ne peut y avoir de carrés magique 3x3 avec des nombres qui sont des puissances quatre. Il est aussi implicite dans les travaux ultérieurs de Carmichael[13] qu'il ne peut y avoir de carré magique 3x3 avec des nombres qui sont des cubes, des puissances quatre ou des puissance 4k. Noam Elkies[26] a remarqué qu'avec la démonstration d'Andrew Wiles du dernier théorème de Fermat, il peut être montré que an + bn = 2cn n'a pas de solution pour n plus grand que 2, et donc qu'il ne peut y avoir de carré magique 3x3 construit avec des nombres qui sont des puissances supérieures à 2.

Et comme dit dans le problème D2, “The Fermat problem”, page 219 du livre de Richard Guy[30]: “Il suit des travaux de Ribet via Mazur & Kamienny et Darmon & Merel que l'équation xn + yn = 2zn n'a pas de solution pour n > 2 sauf le trivial x = y = z.”

Ainsi, les carrés magiques 3x3 de cubes sont impossibles. Je pense que les 4x4 sont aussi impossibles avec des cubes positifs distincts. Le carré trimagique 12x12 (WT1) de la partie 7 suivante, quand ses nombres sont élevés à la puissance 3, est un carré magique de cubes.

Si l'on accepte des entiers négatifs, et en utilisant l'évidente mais intéressante remarque que n3 et (–n)3 ne sont pas égaux (la règle dans un carré magique est d'utiliser des entiers “distincts”, et l'astuce est qu'ils sont distincts !), les carrés magiques de cubes (CB10) et (CB11) ont une somme magique nulle. Ils semblent être les premiers carrés magiques 4x4 et 5x5 connus de cubes.

Si vous n'aimez pas l'astuce terminologique que j'ai utilisée, alors le Problème ouvert 5 est pour vous ! Et le carré (CB12) est une première étape.

Problème ouvert 5. Construire le plus petit possible carré magique de cubes : 5a) utilisant des entiers ayant des valeurs absolues différentes, 5b) utilisant des entiers positifs différents.
Problème ouvert 6. Construire un carré magique de cubes de nombres premiers[9].

193

(-3)3

(-10)3

(-18)3

(-42)3

213

283

353

423

(-21)3

(-28)3

(-35)3

(-19)3

33

103

183

 

113

(-20)3

123

133

143

(-15)3

213

33

(-10)3

(-17)3

(-5)3

(-4)3

03

43

53

173

103

(-3)3

(-21)3

153

(-14)3

(-13)3

(-12)3

203

(-11)3

 

93

473

543

643

963

233

973

63

483

723

103

143

673

1013

423

1103

363

213

33

283

403

703

983

183

383

Références de l'article

[7] Christian Boyer, Multimagic squares, cubes and hypercubes web site, www.multimagie.com

[9] Christian Boyer, Supplement to the article “Some notes on the magic squares of squares problem” article, downloadable from [7], 2005:
Télécharger le fichier PDF (31Ko) ou voir la page HTML www.multimagie.com/English/Supplement.htm

[13] Robert D. Carmichael, Impossibility of the equation x3 + y3 = 2mz3, and On the equation ax4 + by4 = cz2, Diophantine Analysis, John Wiley and Sons, New-York, 1915, 67-72 and 77-79 (reprint by Dover Publications, New York, in 1959 and 2004)

[26] Martin Gardner, The latest magic, Quantum 6(1996), n°4, 60

[30] Richard K. Guy, Problem D15 – Numbers whose sums in pairs make squares, Unsolved Problems in Number Theory, Third edition, Springer, New-York, 2004, 268-271

[39] Adrien-Marie Legendre, Théorie des Nombres, 3rd edition, Firmin-Didot, Paris, 2(1830) 4-5, 9-11, and 144-145 (reprint by Albert Blanchard, Paris, in 1955)

[41] Edouard Lucas, Sur l’analyse indéterminée du troisième degré – Démonstration de plusieurs théorèmes de M. Sylvester, American Journal of Mathematics Pure and Applied 2(1879) 178-185

Carrés magiques 3x3 de cubes
Carrés magiques 3x3 de puissances 4

Comme vu ci-dessus, les carrés magiques 3x3 sont prouvés impossibles. Mais le statut des carrés semi-magiques 3x3 de cubes ou de puissances 4 est encore inconnu. Mon meilleur résultat est :

En octobre 2006, Frank Rubin a cherché un carré semi-magique 3x3 de cubes, et indique qu'il n'en existe aucun utilisant des nombres tous inférieurs à 300.0003.

En mars 2008, Lee Morgenstern a proposé une méthode intéressante. Si l'on trouve deux nombres x et y étant différences de deux cubes de 3 façons différentes et ayant 3 termes en commun :

alors on a trouvé un carré semi-magique 3x3 de cubes :

En mai 2008, Uwe Hollerbach a travaillé sur cette méthode immédiatement après sa confirmation que ma limite haute 933528127886302221000 est le vrai nombre Cabtaxi(10) (le plus petit nombre somme ou différence de deux cubes de 10 façons différentes). En utilisant sa longue liste des 10.597.218 solutions primitives ≤ 950000519472444752221 qui sont sommes ou différences de deux cubes de 3 façons ou plus, il n'a trouvé aucune solution au système (3.1) (3.2), c'est-à-dire pour tout x et y < 9.5 *1020.

En mai 2010, Lee Morgenstern a proposé deux autres nouvelles méthodes. Voir ici ses méthodes (en anglais) qui peuvent peut-être résoudre l'énigme #3 :

Qui sera le premier à construire un carré semi-magique 3x3 de cubes, utilisant des entiers positif distincts ? Ou à prouver que c'est impossible ? En 2007, j'ai aussi posé cette question dans le site  de Carlos Rivera: http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_412.htm

En janvier 2013, Lee Morgenstern a calculé qu'il n'y a pas de carré semi-magique 3x3 de cubes positifs distincts tous inférieurs à (106)3. Et qu'il n'y a pas de carré semi-magique 3x3 utilisant une liste de solutions primitives taxicab(2) avec entiers inférieurs à (106)3 qui sont deux fois augmentés jusqu'à des entiers inférieurs à (1024)3. Voir les détails sur ses recherches.

En avril 2015, Tim Roberts a utilisé la second méthode de Morgenstern de mai 2010, donnée plus haut, pour rechercher des carrés semi-magiques de cubes. Cette méthode démarre par chercher des a, b, c, d, e, f, g, h, tels que a3+b3 = c3+d3 = T1, et e3+f3 = g3+h3 = T2. Il indique qu'il n'y a pas de tels carrés quand T1 et T2 sont tous deux ≤ 2*1013, décevant.

D'autres questions :

Qui sera le premier à construire un carré semi-magique 3x3 de puissances 4 ? Ou à prouver que c'est impossible ?

Carrés magiques 4x4 de cubes
Carrés magiques 4x4 de puissances 4

En juin 2006, après ses carrés bimagiques 6x6 et 7x7 utilisant des entiers distincts, Lee Morgenstern a étudié les carrés magiques de cubes. Il a trouvé cette jolie méthode pour construire des carrés magiques 4x4 de cubes (ou de puissances n):

Un tel carré de puissances n est magique si les trois équations sont vraies :

Sa somme magique est Sn = uv. Si seulement les deux équations (4.1) et (4.2) sont vraies, alors le carré est seulement semi-magique.

Définition des nombres Taxicab standards : entiers égaux à la somme de 2 cubes, de 2 façons différentes.
Définition des nombres Taxicab(j) : entiers égaux à la somme de 2 cubes, de j différentes façons.
 (voir http://oeis.org/A001235
ou http://mathworld.wolfram.com/TaxicabNumber.html
ou http://euler.free.fr/taxicab.htm):

En utilisant par exemple 1729, le fameux plus petit nombre Taxicab de Ramanujan, précédemment connu dès 1657 par Bernard Frénicle de Bessy, et le second plus petit nombre Taxicab 4104 :

on peut directement construire le carré :

Après une recherche exhaustive faite par Lee Morgenstern (c'est-à-dire pas seulement avec sa méthode ci-dessus), il s'agit du plus petit carré semi-magique possible de cubes. Sans compter l'évident multiple 23 de ce carré, sa méthode génère également le second plus petit possible : en utilisant encore 1729, mais avec le troisième nombre Taxicab primitif 20683 = 103 + 273 = 193 + 243.

Le troisième plus petit carré ne peut pas être obtenu avec sa méthode, mais l'on peut remarquer que ce carré reste étonnamment semi-magique, avec S1=744, quand ses entiers ne sont pas élevés au cube (peut-être une structure cachée ?) :

Il a aussi confirmé que mon carré CB10 de cubes autorisant des entiers négatifs est le meilleur possible.

Remarques sur la méthode 4x4 de Morgenstern

J'ai travaillé sur sa puissante méthode qui devrait être capable de générer des carrés magiques 4x4 de cubes, avec deux diagonales magiques, si l'on pouvait trouver au moins une solution aux trois équations (4.1) (4.2) (4.3) ci-dessus quand la puissance n=3.  Par exemple, ce système de 3 équations est possible avec n=2, générant un carré magique de carrés S2 = 125*8357 :

mais j'ai été incapable de trouver au moins une solution quand n=3, ou 4, ou plus. En utilisant des listes amicalement fournies par Jaroslaw Wroblewski, et si mes calculs sont corrects, je peux dire qu'il n'y a aucune solution aux 3 équations quand n=3 :

Si la méthode de Morgenstern peut générer des carrés pleinement magiques de cubes, alors ses nombres sont vraiment gros !

En mai-juin 2013, Gildas Guillemot a étendu ma recherche, et n'a pas trouvé de solution :

Il est aussi intéressant de savoir si la proportion de carrés générés par la méthode de Morgenstern est importante ou non, parmi tous les carrés semi-magiques 4x4 de cubes existants. Après une recherche exhaustive faite par Gildas Guillemot en mars-avril 2013, cette proportion est très élevée. Il a trouvé 448 carrés semi-magiques primitifs différents ayant S3 < 10^11, et seulement 7 d'entre eux ne peuvent pas être générés avec des nombres taxicab ! Leurs S3 : 42699384 (carré donné plus haut), 556630776, 8168537160, 11201037624, 24211311640, 52940314224, 65949634088. Tous ces S3 sont 8k.

Journal of Integer Sequences

Qui sera le premier à construire un carré magique 4x4 de cubes, utilisant des entiers positif distincts ? Ou à prouver que c'est impossible ? Ce problème est aussi donné en partir 8.3 "Who can construct of 4x4 magic square of cubes?" de mon article "New Upper Bounds for Taxicab and Cabtaxi Numbers" publié dans le Journal of Integer Sequences, 2008, Volume 11, Issue 1.
Voir http://www.christianboyer.com/taxicab et http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/vol11.html

Et concernant les carrés magiques de puissances 4 ? Avec n=4, j'ai généré facilement la plus petite solution de (4.1)+(4.2), utilisant le nombre 635318657 initialement trouvé par Euler :

(voir la liste des sommes de deux puissances 4 de plus d'une façon en http://oeis.org/A003824).

Mais en mixant les 1420 solutions de:

(liste de Jaroslaw Wroblewski, disponible en http://www.math.uni.wroc.pl/~jwr/422/index.htm), et si mes calculs sont corrects, je peux dire qu'il n'y a aucune solution au système de 3 équations quand n=4, si a,b,c,d,e,f,g,h < 10.000.000.

Qui sera le premier à construire un carré magique 4x4 de puissances 4 ? Ou à prouver que c'est impossible ?

Et concernant les carrés magiques de puissances 5 ? Avec n=5, personne ne connaît de solution à :

Après une recherche exhaustive faite en septembre 2002, Stuart Gascoigne n'a trouvé aucune solution u < 3,26 * 10^32. Et Jaroslaw Wroblewski n'a trouvé aucune solution en 2006 pour des formes spéciales jusqu'à 2,43 * 10^37. Et, plus généralement, personne ne connaît de solution à :

Toutefois, aujourd'hui, aucune preuve que l'équation est impossible. Voir le site "Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers" http://euler.free.fr/ de Jean-Claude Meyrignac, où cette équation est appelée (n, 2, 2) : puissances n, avec 2 termes positifs à gauche, et 2 termes positifs à droite de l'équation.

Cela signifie que nous sommes incapables de construire un carré semi-magique de puissances 5, ou plus, en utilisant la méthode de Morgenstern.

Qui sera le premier à construire un carré (au moins semi-) magique 4x4 de puissances 5 ? Ou à prouver que c'est impossible ?

Une autre méthode 4x4 de Morgenstern

Sept ans après sa première méthode plus haut, Lee Morgenstern a proposé une autre méthode en janvier 2013, étendue en avril 2013. Sa méthode étendue produit directement des carrés magiques 4x4 de 14 cubes positifs distincts, et essaye d'obtenir les 2 cubes manquants. Voici un exemple de carré magique 4x4 de 14 cubes distincts obtenu avec sa méthode. Qui sera le premier à construitre un carré magique 4x4 de 15 cubes positifs distincts sur 16 ?

En janvier-février 2013, Lee a aussi fait une recherche exhaustive :

Carrés magiques 5x5 de cubes
Carrés magiques 5x5 de puissances 4

Lee Morgenstern a confirmé que mon carré CB12 est le plus petit carré semi-magique possible 5x5 de cubes, avec S3 = 1.408.896. Il a trouvé la seconde solution la plus petite :

Il a aussi confirmé que mon carré CB11 de cubes autorisant des entiers négatifs est le meilleur possible.

En février 2010, j'ai calculé qu'il n'y a pas de carré magique 5x5 de cubes ayant S3 < 20.000.000. Cela implique par exemple qu'il n'y a pas de solution utilisant des entiers < 171^3, puisque (170^3 + 169^3 + 168^3 + .... + 146^3)/5 = 19.844.800 < 20.000.000.

Qui sera le premier à construire un carré magique 5x5 de cubes, utilisant des entiers positif distincts ? Ou à prouver que c'est impossible ?

Toshihiro Shirakawa a travaillé sur cette petite énigme #4a. En mai 2011, après plusieurs semaines de calcul, il a trouvé qu'il n'y a pas de carré magique 5x5 de cubes ayant S3 < 46.656.000. Il a trouvé 11 exemples semi-magiques, aucun d'entre eux n'ayant de diagonale magique, 3 d'entre eux (marqués *) étant des multiples des deux plus plus petits:

De juin à novembre 2018, Nicolas Rouanet a aussi travaillé sur cette énigme : pas de carré magique 5x5 de cubes ayant S3 < 400.000.000. Il a trouvé 44 exemples semi-magiques 5x5, heureusement retrouvant les mêmes 11 exemples précédemment obtenus par Toshihiro Shirakawa. Aucun d'entre eux n'a de diagonale magique.

Qui sera le premier à construire un carré magique 5x5 de puissances 4 ? Ou à prouver que c'est impossible ?

Carrés magiques 6x6 de cubes
Carrés magiques 6x6 de puissances 4

Lee Morgenstern a trouvé une méthode de construction de carrés semi-magiques 6x6 de cubes (ou de puissances n). Si les deux équations (6.1) (6.2) sont vraies :

alors ce carré est un carré semi-magique de puissances n, avec la somme magique Sn = uv :

Les solutions de ces équations sont bien connues. Quand n=3, on peut trouver par exemple en utilisant :

que leurs plus petites solutions sont respectivement :

ce qui génère ce carré :

Lee Morgenstern a également construit un carré magique 6x6 de cubes, autorisant les entiers négatifs, avec S3=0, comme mes carrés CB10 et CB11. Tous les entiers de -18 à 18 sont utilisés, sauf 0 :

Qui sera le premier à construire un carré magique 6x6 de cubes, utilisant des entiers positif distincts ? Ou à prouver que c'est impossible ?

Toshihiro Shirakawa a travaillé sur cette petite énigme #4b. Il n'en a pas trouvé la solution, mais a trouvé en avril 2010 le MEILLEUR carré SEMI-magique 6x6 possible de cubes, avec le plus petit S3 possible et le plus petit NbMax possible. Bien sûr, son S3 est bien plus petit que le S3=88 327 172 871 de la méthode ci-dessus. En mai 2010, Lee Morgenstern a confirmé que le carré de Shirakawa a les plus petits S3 et NbMax possibles.

En octobre 2010 puis en mars 2011, Toshihiro a trouvé deux carrés quasi magiques de cubes, chacun avec UNE diagonale magique. Qui sera le premier à obtenir DEUX diagonales magiques ? Selon l'état de la recherche de Toshihiro en octobre 2013, il n'y a pas de solution avec S3 < 1843900, mais il y a deux autres exemples ayant une diagonale magique, avec S3=1406160 et 1537263.

De juin 2018 à février 2019, Nicolas Rouanet a aussi travaillé sur cette énigme : pas de carré magique 6x6 de cubes ayant S3 < 3.000.000. Il a trouvé 45 exemples semi-magiques avec une diagonale magique (ou seulement 33 carrés si le zéro n'est pas accepté parmi les cellules), heureusement retrouvant les mêmes 4 exemples précédemment obtenus par Toshihiro Shirakawa. Aucun d'entre eux n'a de seconde diagonale magique.

Remarques sur la méthode 6x6 de Morgenstern

La méthode de Morgenstern ne peut générer de carrés semi-magiques 6x6 de puissances 4 avec l'état actuel des connaissances sur les nombres Taxicab :

Définition des nombres Taxicab(n, i, j) généralisés :
x=Taxicab(n, i, j) est un entier égal à la somme de i puissances n, de j différentes façons. Pour n=3 et i=2, ils coïncident avec les nombres Taxicab(j).

Qui sera le premier à construire un carré magique 6x6 de puissances 4 ? Ou à prouver que c'est impossible ?

Carrés magiques 7x7 de cubes
Carrés magiques 7x7 de puissances 4

Selon les calculs de Lee Morgenstern effectués en mai 2008, il n'existe aucun carré semi-magique 7x7 de cubes utilisant n'importe quel ensemble de 49 cubes compris entre 13 et 553. Il a étendu son calcul en août 2008 : encore impossible jusqu'à 573.

Dans ce carré magique de cubes autorisant les entiers négatifs, tous les entiers sont utilisés, de -24 à 24, et incluant 0 :

22 avril 2010 : Toshihiro Shirakawa est le premier à résoudre ma petite énigme #3a, avec ce premier carré semi-magique 7x7 de cubes positifs. Il a utilisé le langage C++ (Visual C++ 2008 Express Edition) sur un PC Core2 quad Q9550.

Il a ensuite amélioré son résultat, avec ces deux autres carrés ayant de plus petites sommes magiques, et utilisant de plus petits entiers. Après avoir obtenu en juillet son carré S3=306405, ses calculs de septembre-octobre 2010 ont conclu que c'est le plus petit S3 possible.

Qui sera le premier à construire un carré magique 7x7 de cubes, utilisant des entiers positif distincts ? Ou à prouver que c'est impossible ?

C'est ma petite énigme #4c. Toshihiro Shirakawa a trouvé ce carré semi-magique avec UNE diagonale magique en mai 2010. Puis en octobre, il a calculé que ce carré a le plus petit S3 possible permettant une diagonale magique. Qui sera le premier à obtenir DEUX diagonales magiques ? Selon l'état de la recherche de Toshihiro en mai 2011, il n'y a pas de solution avec S3 < 377773.

Nouvel état de la recherche de Toshihiro en avril 2013 : pas de solution avec deux diagonales et S3 < 418000, mais cinq autres exemples avec une diagonale pour S3 = 405189, 408078, 409284, 409473, et 417726. Puis en novembre 2013, pas de solution avec deux diagonales et S3 < 490000, mais plus d'une centaine d'autres exemples avec une diagonale. En dehors de son intervalle d'étude des S3, il a trouvé cet intéressant carré avec deux "diagonales" en vert :

En mars 2014, Toshihiro Shirakawa annonçait qu'il n'y a pas de solution avec deux diagonales et S3 < 500000.

Cette fois, les deux diagonales sont vraiment magiques : Dmitry Kamenetsky, Adelaide, Australie, a trouvé ce carré magique... mais avec 46 cubes positifs. Les trois autres entiers ne sont pas des cubes, et deux d'entre eux sont négatifs.

Sébastien Miquel en 2015 (Châtenay-Malabry, France, 1992 - )

20 février 2015: Sébastien Miquel, France, est le premier à résoudre mon énigme #4c ! Il est étudiant en 4ème année à l'Ecole Normale Supérieure de Paris. En 2009, il avait gagné à la fois le prix Fermat junior (voir aussi ici), et le premier accessit de mathématiques au Concours Général. Pour cette énigme, il a fait tourner son programme écrit en Rust de septembre 2014 à février 2015 sur un PC basé sur un processeur i7 920. Ce S3=616617 était un des bons candidats à analyser, il y a 5997 façons de sommer ce S3 en utilisant 7 cubes > 0. Mais d'autres solutions de ce problème peuvent exister avec de plus petits S3 et/ou de plus petits MaxNb.

Ce 7x7 est actuellement le PLUS PETIT carré magique connu de cubes : 4x4, 5x5 et 6x6 toujours inconnus ! (énigmes #4, #4a, #4b)

Un autre problème :

Qui sera le premier à construire un carré magique 7x7 de puissances 4 ? Ou à prouver que c'est impossible ?

Retour à la page d'accueil http://www.multimagie.com