MULTIMAGIE.COM - Les carrés bimagiques 10x10 et 11x11

Carrés bimagiques d'ordre 10 et 11

Fredrik Jansson (Turku 1982 - )

Alors que de très nombreux carrés bimagiques d'ordre 8 et 9 ont été construits depuis Pfeffermann, donc depuis plus d'un siècle, aucun carré bimagique d'ordre 10 ou 11 n'avait réussi à être construit.

Le premier carré bimagique d'ordre 10 a été construit en janvier 2004 par Fredrik Jansson, Finlande. Fredrik est un jeune étudiant , actuellement en seconde année de physique à l'Université Åbo Akademi de Turku. Il étudie aussi les mathématiques et l'informatique.

Premier carré bimagique d'ordre 10,
par Fredrik Jansson, janvier 2004
2	19	70	1	66	74	73	60	68	72
58	77	15	3	65	4	67	69	71	76
62	63	82	75	61	59	79	6	5	13
49	18	14	78	98	40	25	96	43	44
94	41	27	42	35	91	21	95	37	22
93	39	23	38	31	90	33	30	29	99
34	100	36	83	45	24	26	28	97	32
8	85	64	57	7	56	80	48	16	84
54	11	86	47	87	12	92	20	50	46
51	52	88	81	10	55	9	53	89	17

Il a utilisé le fait qu'il y ait autant de séries d'ordre 10, comme mentionné dans l'ancienne version de cette page : en effet, si on liste les séries de 10 entiers différents, compris entre 1 et 100, et dont la somme fait 505, et dont la somme des carrés fait 33 835, on trouve 24 643 236 séries. Et si on se limite par exemple aux séries ayant le nombre 100 parmi les 10 entiers, il reste encore 2 240 776 séries. Avec autant de séries, la probabilité était donc très forte pour que des carrés bimagiques 10x10 puissent exister... mais personne n'y était arrivé : bravo à Fredrik!

Lire l'histoire du premier carré bimagique d'ordre 10 (en anglais), texte écrit par Fredrik Jansson.

Voici d'autres carrés bimagiques d'ordre 10, construits plus tard, en 2006 et 2007 :

Carré bimagique d'ordre 10,
par Christian Boyer, octobre 2006
81	44	41	63	88	3	49	53	1	82
26	38	92	90	25	45	42	62	2	83
96	97	31	46	68	8	22	24	57	56
16	100	9	75	11	71	43	54	65	61
28	48	7	51	34	91	95	59	77	15
13	27	87	14	60	89	55	64	79	17
72	36	52	18	86	47	23	6	66	99
58	10	74	30	84	50	5	94	67	33
80	76	39	98	37	32	78	4	21	40
35	29	73	20	12	69	93	85	70	19

Carré bimagique d'ordre 10,
par Pan Fengchu, septembre 2007
89	51	52	88	53	55	10	9	17	81
59	82	62	61	13	6	79	75	63	5
1	2	66	68	72	74	70	73	60	19
42	41	27	22	91	21	35	37	95	94
57	80	64	8	16	85	56	48	7	84
54	20	86	92	11	50	12	87	46	47
78	98	14	40	43	18	44	96	25	49
3	65	4	77	71	58	76	15	67	69
39	30	33	23	90	38	99	31	93	29
83	36	97	26	45	100	24	34	32	28

G. Pfeffermann, toujours lui, et toujours dans Les Tablettes du Chercheur, avait publié 3 carrés bimagiques non-normaux d'ordre 10, en 1894 et 1896. Voici le dernier publié qui utilise des entiers non consécutifs entre 1 et 137.

Carré bimagique non-normal d'ordre 10
de G. Pfeffermann, publié 1er mars 1896
24	133	108	51	129	19	71	42	13	100
130	28	35	134	72	52	14	111	94	20
1	7	84	113	106	40	37	64	117	121
107	65	2	18	23	99	128	122	85	41
83	112	116	29	15	135	95	6	36	63
75	102	132	43	3	123	109	22	26	55
97	53	16	10	39	115	120	136	73	31
17	21	74	101	98	32	25	54	131	137
118	44	27	124	86	66	4	103	110	8
38	125	96	67	119	9	87	30	5	114

Carrés bimagiques d'ordre 11

Egalement en janvier 2004, seulement 18 jours après son carré bimagique d'ordre 10, Fredrik Jansson a construit le premier carré bimagique d'ordre 11 en utilisant des méthodes similaires (en combinant des séries bimagiques).

Premier carré bimagique d'ordre 11,
par Fredrik Jansson, janvier 2004
84	80	88	2	82	10	81	74	1	86	83
53	114	118	35	47	26	27	55	58	113	25
119	45	40	51	116	38	42	29	33	117	41
21	109	20	66	60	37	115	111	54	59	19
69	87	85	4	79	89	94	8	3	75	78
39	15	14	105	96	64	103	61	98	63	13
121	34	44	57	46	120	30	48	108	31	32
73	91	90	71	7	92	95	5	76	6	65
52	36	17	107	16	104	18	77	70	62	112
12	11	99	72	100	67	43	97	68	9	93
28	49	56	101	22	24	23	106	102	50	110

Un autre carré bimagique d'ordre 11 a ensuite été construit par Chen Mutian, Chine, en mai 2005. Ce carré est symétrique autour de son centre, ce qui signifie que deux cellules symétriques autour du centre ont toujours la même somme, ici 122. Une conséquence intéressante est que les 4 alignements de 11 nombres passant par le centre sont trimagiques : la ligne centrale, la colonne centrale, et les 2 diagonales.

Carré bimagique symétrique d'ordre 11,
par Chen Mutian, mai 2005.
Les deux diagonales sont trimagiques, ainsi que la ligne et la colonne passant par le centre.
9	19	65	30	72	76	106	121	93	47	33
101	97	88	20	56	4	27	74	70	108	26
86	87	51	109	112	41	12	54	3	37	79
84	11	58	94	8	91	40	78	120	24	63
6	104	23	115	22	105	69	60	55	73	39
15	32	117	80	45	61	77	42	5	90	107
83	49	67	62	53	17	100	7	99	18	116
59	98	2	44	82	31	114	28	64	111	38
43	85	119	68	110	81	10	13	71	35	36
96	14	52	48	95	118	66	102	34	25	21
89	75	29	1	16	46	50	92	57	103	113

Retour à la page d'accueil http://www.multimagie.com

2	19	70	1	66	74	73	60	68	72
58	77	15	3	65	4	67	69	71	76
62	63	82	75	61	59	79	6	5	13
49	18	14	78	98	40	25	96	43	44
94	41	27	42	35	91	21	95	37	22
93	39	23	38	31	90	33	30	29	99
34	100	36	83	45	24	26	28	97	32
8	85	64	57	7	56	80	48	16	84
54	11	86	47	87	12	92	20	50	46
51	52	88	81	10	55	9	53	89	17

81	44	41	63	88	3	49	53	1	82
26	38	92	90	25	45	42	62	2	83
96	97	31	46	68	8	22	24	57	56
16	100	9	75	11	71	43	54	65	61
28	48	7	51	34	91	95	59	77	15
13	27	87	14	60	89	55	64	79	17
72	36	52	18	86	47	23	6	66	99
58	10	74	30	84	50	5	94	67	33
80	76	39	98	37	32	78	4	21	40
35	29	73	20	12	69	93	85	70	19

89	51	52	88	53	55	10	9	17	81
59	82	62	61	13	6	79	75	63	5
1	2	66	68	72	74	70	73	60	19
42	41	27	22	91	21	35	37	95	94
57	80	64	8	16	85	56	48	7	84
54	20	86	92	11	50	12	87	46	47
78	98	14	40	43	18	44	96	25	49
3	65	4	77	71	58	76	15	67	69
39	30	33	23	90	38	99	31	93	29
83	36	97	26	45	100	24	34	32	28

24	133	108	51	129	19	71	42	13	100
130	28	35	134	72	52	14	111	94	20
1	7	84	113	106	40	37	64	117	121
107	65	2	18	23	99	128	122	85	41
83	112	116	29	15	135	95	6	36	63
75	102	132	43	3	123	109	22	26	55
97	53	16	10	39	115	120	136	73	31
17	21	74	101	98	32	25	54	131	137
118	44	27	124	86	66	4	103	110	8
38	125	96	67	119	9	87	30	5	114

84	80	88	2	82	10	81	74	1	86	83
53	114	118	35	47	26	27	55	58	113	25
119	45	40	51	116	38	42	29	33	117	41
21	109	20	66	60	37	115	111	54	59	19
69	87	85	4	79	89	94	8	3	75	78
39	15	14	105	96	64	103	61	98	63	13
121	34	44	57	46	120	30	48	108	31	32
73	91	90	71	7	92	95	5	76	6	65
52	36	17	107	16	104	18	77	70	62	112
12	11	99	72	100	67	43	97	68	9	93
28	49	56	101	22	24	23	106	102	50	110

9	19	65	30	72	76	106	121	93	47	33
101	97	88	20	56	4	27	74	70	108	26
86	87	51	109	112	41	12	54	3	37	79
84	11	58	94	8	91	40	78	120	24	63
6	104	23	115	22	105	69	60	55	73	39
15	32	117	80	45	61	77	42	5	90	107
83	49	67	62	53	17	100	7	99	18	116
59	98	2	44	82	31	114	28	64	111	38
43	85	119	68	110	81	10	13	71	35	36
96	14	52	48	95	118	66	102	34	25	21
89	75	29	1	16	46	50	92	57	103	113

2	19	70	1	66	74	73	60	68	72
58	77	15	3	65	4	67	69	71	76
62	63	82	75	61	59	79	6	5	13
49	18	14	78	98	40	25	96	43	44
94	41	27	42	35	91	21	95	37	22
93	39	23	38	31	90	33	30	29	99
34	100	36	83	45	24	26	28	97	32
8	85	64	57	7	56	80	48	16	84
54	11	86	47	87	12	92	20	50	46
51	52	88	81	10	55	9	53	89	17

81	44	41	63	88	3	49	53	1	82
26	38	92	90	25	45	42	62	2	83
96	97	31	46	68	8	22	24	57	56
16	100	9	75	11	71	43	54	65	61
28	48	7	51	34	91	95	59	77	15
13	27	87	14	60	89	55	64	79	17
72	36	52	18	86	47	23	6	66	99
58	10	74	30	84	50	5	94	67	33
80	76	39	98	37	32	78	4	21	40
35	29	73	20	12	69	93	85	70	19

89	51	52	88	53	55	10	9	17	81
59	82	62	61	13	6	79	75	63	5
1	2	66	68	72	74	70	73	60	19
42	41	27	22	91	21	35	37	95	94
57	80	64	8	16	85	56	48	7	84
54	20	86	92	11	50	12	87	46	47
78	98	14	40	43	18	44	96	25	49
3	65	4	77	71	58	76	15	67	69
39	30	33	23	90	38	99	31	93	29
83	36	97	26	45	100	24	34	32	28

24	133	108	51	129	19	71	42	13	100
130	28	35	134	72	52	14	111	94	20
1	7	84	113	106	40	37	64	117	121
107	65	2	18	23	99	128	122	85	41
83	112	116	29	15	135	95	6	36	63
75	102	132	43	3	123	109	22	26	55
97	53	16	10	39	115	120	136	73	31
17	21	74	101	98	32	25	54	131	137
118	44	27	124	86	66	4	103	110	8
38	125	96	67	119	9	87	30	5	114

84	80	88	2	82	10	81	74	1	86	83
53	114	118	35	47	26	27	55	58	113	25
119	45	40	51	116	38	42	29	33	117	41
21	109	20	66	60	37	115	111	54	59	19
69	87	85	4	79	89	94	8	3	75	78
39	15	14	105	96	64	103	61	98	63	13
121	34	44	57	46	120	30	48	108	31	32
73	91	90	71	7	92	95	5	76	6	65
52	36	17	107	16	104	18	77	70	62	112
12	11	99	72	100	67	43	97	68	9	93
28	49	56	101	22	24	23	106	102	50	110

9	19	65	30	72	76	106	121	93	47	33
101	97	88	20	56	4	27	74	70	108	26
86	87	51	109	112	41	12	54	3	37	79
84	11	58	94	8	91	40	78	120	24	63
6	104	23	115	22	105	69	60	55	73	39
15	32	117	80	45	61	77	42	5	90	107
83	49	67	62	53	17	100	7	99	18	116
59	98	2	44	82	31	114	28	64	111	38
43	85	119	68	110	81	10	13	71	35	36
96	14	52	48	95	118	66	102	34	25	21
89	75	29	1	16	46	50	92	57	103	113

2	19	70	1	66	74	73	60	68	72
58	77	15	3	65	4	67	69	71	76
62	63	82	75	61	59	79	6	5	13
49	18	14	78	98	40	25	96	43	44
94	41	27	42	35	91	21	95	37	22
93	39	23	38	31	90	33	30	29	99
34	100	36	83	45	24	26	28	97	32
8	85	64	57	7	56	80	48	16	84
54	11	86	47	87	12	92	20	50	46
51	52	88	81	10	55	9	53	89	17

81	44	41	63	88	3	49	53	1	82
26	38	92	90	25	45	42	62	2	83
96	97	31	46	68	8	22	24	57	56
16	100	9	75	11	71	43	54	65	61
28	48	7	51	34	91	95	59	77	15
13	27	87	14	60	89	55	64	79	17
72	36	52	18	86	47	23	6	66	99
58	10	74	30	84	50	5	94	67	33
80	76	39	98	37	32	78	4	21	40
35	29	73	20	12	69	93	85	70	19

89	51	52	88	53	55	10	9	17	81
59	82	62	61	13	6	79	75	63	5
1	2	66	68	72	74	70	73	60	19
42	41	27	22	91	21	35	37	95	94
57	80	64	8	16	85	56	48	7	84
54	20	86	92	11	50	12	87	46	47
78	98	14	40	43	18	44	96	25	49
3	65	4	77	71	58	76	15	67	69
39	30	33	23	90	38	99	31	93	29
83	36	97	26	45	100	24	34	32	28

24	133	108	51	129	19	71	42	13	100
130	28	35	134	72	52	14	111	94	20
1	7	84	113	106	40	37	64	117	121
107	65	2	18	23	99	128	122	85	41
83	112	116	29	15	135	95	6	36	63
75	102	132	43	3	123	109	22	26	55
97	53	16	10	39	115	120	136	73	31
17	21	74	101	98	32	25	54	131	137
118	44	27	124	86	66	4	103	110	8
38	125	96	67	119	9	87	30	5	114

84	80	88	2	82	10	81	74	1	86	83
53	114	118	35	47	26	27	55	58	113	25
119	45	40	51	116	38	42	29	33	117	41
21	109	20	66	60	37	115	111	54	59	19
69	87	85	4	79	89	94	8	3	75	78
39	15	14	105	96	64	103	61	98	63	13
121	34	44	57	46	120	30	48	108	31	32
73	91	90	71	7	92	95	5	76	6	65
52	36	17	107	16	104	18	77	70	62	112
12	11	99	72	100	67	43	97	68	9	93
28	49	56	101	22	24	23	106	102	50	110

9	19	65	30	72	76	106	121	93	47	33
101	97	88	20	56	4	27	74	70	108	26
86	87	51	109	112	41	12	54	3	37	79
84	11	58	94	8	91	40	78	120	24	63
6	104	23	115	22	105	69	60	55	73	39
15	32	117	80	45	61	77	42	5	90	107
83	49	67	62	53	17	100	7	99	18	116
59	98	2	44	82	31	114	28	64	111	38
43	85	119	68	110	81	10	13	71	35	36
96	14	52	48	95	118	66	102	34	25	21
89	75	29	1	16	46	50	92	57	103	113