Séries multimagiques pour carrés
Voir aussi les séries multimagiques pour cubes

Comme nous l'avons vu pour le plus petit carré bimagique et le plus petit carré trimagique, il peut être intéressant, pour essayer de construire un carré p-multimagique de taille nxn, de trouver l'ensemble des séries p-multimagiques d'ordre n, c'est-à-dire des séries de n entiers différents compris entre 1 et n², ayant la bonne somme magique, bimagique,... jusqu'à p-multimagique.

L'ordre 4 est le plus petit ordre permettant d'obtenir des séries bimagiques. Voici ces 2 séries bimagiques, qui sont aussi étonnamment trimagiques :

Cela signifie donc que :

  1. 15 + 9 + 8 + 2 = 14 + 12 + 5 + 3 = 34 = S1
  2. 152 + 92 + 82 + 22 = 142 + 122 + 52 + 32 = 374 = S2
  3. 153 + 93 + 83 + 23 = 143 + 123 + 53 + 33 = 4624 = S3

Pour l'ordre 5, il y a 8 séries bimagiques dont la liste est donnée dans la page du Plus petit carré bimagique.

Voici un tableau récapitulatif du nombre de séries magiques. Certaines listes sont téléchargeables sous la forme de fichiers Excel, entre 28Ko et 800Ko chacun. Pour l'ordre 12, les nombres des séries trimagiques, tétramagiques et pentamagiques ont été sympathiquement communiqués par Walter Trump, Allemagne. En 2004, les nombres de Walter Trump ont été confirmés par Fredrik Jansson, Finlande. Et Fredrik est allé plus loin : il est le premier à avoir calculé le gros nombre de séries bimagiques d'ordre 12, et le nombre de séries multimagiques d'ordre 13 (sauf les séries bimagiques d'ordre 13).

Nouveaux résultats sur les séries bimagiques, entre juillet et octobre 2005, en provenance d'Allemagne :

En avril 2008, Michael Quist, USA, a calculé les nombres de séries tétramagiques et pentamagiques d'ordre 16. En mai 2008, il a calculé le nombre de séries trimagiques d'ordre 15 (et a aussi confirmé le nombre de séries trimagiques d'ordre 13 précédemment calculé par Fredrik Jansson). En août 2008, il a calculé le nombre de séries bimagiques des ordres 18, 19 et 20 (et a aussi confirmé le nombre de séries bimagiques des ordres inférieurs déjà calculés). En mai 2013, il a calculé le nombre de séries bimagiques des ordres 21, 22, 23, nombres indépendemment calculés et confirmés quelques jours plus tard par Lee Morgenstern, USA. Puis en mai et juin 2013, en utilisant directement le logiciel écrit par Lee Morgenstern (PDF avec méthode de comptage de L. Morgenstern, en anglais), Walter Trump a calculé le nombre de séries bimagiques des ordres 24, 25, 26, 27 et 28. En décembre 2014, Lee Morgenstern a calculé le nombre de séries trimagiques des ordres 16 et 17. En août 2015, Dirk Kinnaes, Belgique, a confirmé les nombres précédemment connus de séries bimagiques, et a calculé les nombres de séries bimagiques des ordres 29 et 30 (PDF avec algorithme de Kinnaes, en anglais).

L'ordre 12 est donc le plus petit ordre permettant d'obtenir des séries tétra et pentamagiques. Sur les 106 séries tétramagiques, 4 sont de plus pentamagiques. Elles sont toutes symétriques gauche/droite, c'est-à-dire i-ème nombre + (13-i)ème nombre = 12² + 1 = 145.

Quel est le plus petit ordre permettant d'obtenir des séries hexamagiques ? Les plus petits candidats actuels sont les ordres 27 et 40.

Les séries bimagiques, trimagiques, tétramagiques et pentamagiques sont référencées respectivement sous les numéros A052457, A052458, A090037 et A106646 dans la On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS Foundation.

Voir aussi le sujet "Multimagic Series" dans le World of Mathematics d'Eric Weisstein, Wolfram Research.

En avril-mai 2005, Walter Trump calculait une estimation du nombre de séries magiques variées, dont les séries bimagiques d'ordre 13 à 20, en utilisant des méthodes Monte Carlo. Plus de détails à www.trump.de/magic-squares/magic-series/index.html. Les nombres exacts de séries bimagiques, calculés après son estimation (voir plus haut), sont très proches : sa méthode d'estimation est prouvée excellente !

En juin 2013, Michael Quist a écrit un article estimant les nombres des séries magiques et multimagiques, incluant les séries bimagiques pour carrés d'ordre N. Voir http://arxiv.org/abs/1306.0616. Voici sa formule, et les valeurs numériques obtenues pour 20 ≤ N ≤ 32. L'erreur décroit avec les plus grands ordres. En août 2015, Dirk Kinnaes a amélioré la formule de Quist, en ajoutant un nouveau terme (voir aussi son fichier PDF donné plus haut).

Ce n'est pas dans son article, mais Michael Quist a calculé en mai 2013 cette autre formule :

Les nombres estimés par cette formule, pour N > 18, sont dans la colonne trimagique de la première table de cette page.
Et en décembre 2013, il a proposé cette formule générale pour les séries multimagiques d'ordre N (la précédente formule trimagique en découle avec K=3) :

En janvier 2006, Robert Gerbicz, Hongrie, a prouvé qu'il n'y a pas de série tétramagique d'ordre 15. Voici sa preuve.

Les sommes magiques sont :

S4==15 mod 16. Puisque (2x+1)^4==1 mod 16 et (2x)^4==0 mod 16, les 15 nombres doivent être impairs.

Soit a(k)=2b(k)+1 (où chaque b(k) est un entier) et T1=somme(b(k), k=1..15), T2=somme(b(k)^2, k=1..15), et ainsi de suite...

Par le théorème du binôme, on a :

Il est facile de résoudre ce système linéaire d'équations :

Il y a une contradiction. Puisque x==x^4 mod 2, il devrait y avoir T1==T4 mod 2 : mais T1 est pair et T4 est impair !

Il n'y a donc pas de série tétramagique (et pentamagique, hexamagique...) pour carrés d'ordre 15.

En juillet 2008, Jaroslaw Wroblewski, Pologne, a prouvé qu'il n'y a pas de série hexamagique d'ordre 17. Voici sa preuve.

A partir de S4=1(mod 17) on conclut que les séries doivent contenir 17 termes impairs, ou un terme impair et 16 termes pairs.

***** Dans le cas de 17 termes impairs, chacun de la forme 4k+1 (où k peut être négatif)(*), en notant Ki la somme des puissances i des k, on obtient

soit encore

ce qui donne une contradiction sur la parité de K1. Il n'y a donc pas de série tétramagique dans ce cas.

***** Dans le cas de 1 terme impair de la forme 4k+1 (où k peut être négatif) et 16 termes pairs de la forme 2p, en notant Pi la somme des puissances i des p, on obtient à partir des équations de S2 et S4, respectivement:

Comme P2 et P4 ont la même parité, k doit être impair, notons k = 2m. On obtient à partir de l'équation sur S6 :

ce qui nous permet d'écrire m=4r. On obtient à partir des équations de S2 et S6 :

Puisque P2=P6(mod 4), on peut noter r=4q. Maintenant le terme impair de la série magique est égal à 128q+1, q = -2,-1,0,1,2.

A partir de l'équation sur S4, qui prend cette forme

on conclut que P4 est divisible par 32 et puisque P4 = P6 (mod 8), P6 est divisible par 8.

L'équation sur S6 donne :

Cela force q à être impair, c'est-à-dire q doit valoir plus ou moins 1.

Dans le cas q=1 on obtient :

Dans le cas q=-1 on obtient :

Dans chaque cas P4 est divisible par 16, ce qui signifie que tous les p sont impairs ou que tous sont pairs. Toutefois P6 n'est pas divisible par 64, ce qui exclut la possibilité de tous les p impairs. Notons p=4x+1 (x étant un entier de tout signe).

A partir des équations sur S2 et S4 on obtient pour q=1:

et pour q=-1:

Dans chacun des cas il y a une contradiction mod 4.

Et toujours en juillet 2008, Jaroslaw Wroblewski a prouvé qu'il n'y a pas de série hexamagique d'ordre 19. Voici sa preuve.

S4(mod 16)=7, implique que toute série doit avoir 7 termes impairs et 17 pairs, de la forme 4k+1 et 2p respectivement. Alors les équations sur S2, S4, S6 donnent :

La dernière équation indique un K1 pair, et donc P2 et P4 ont une contradiction de parité, ce qui prouve qu'il n'y a pas de série hexamagique d'ordre 19.

(*) Au sujet des termes impairs de la forme 4k+1 "où k peut être négatif". Oui, chaque entier impair, ou son opposé, est bien de la forme 4k+1 :

etc, avec k = 0, -1, 1, -2, 2, -3,... Jolie astuce!

De mars à août 2013, Lee Morgenstern a prouvé qu'il n'y a pas de séries tétramagiques des ordres 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 15 et 17. A prouvé qu'il n'y a pas de séries pentamagiques des ordres 19, 23 et 25. Et a prouvé qu'il n'y a pas de séries hexamagiques des ordres 12, 13, 16, 19, 20, 21, 23, 24, 25, 28, 29, 31, 32, 33, 35, 36, 37 et 39.

Les existences des séries hexamagiques des ordres 27 et 40 (et de nombreux >40) sont inconnues.

En juillet et août 2013, il a prouvé que quelques séries multimagiques existent, en trouvant des exemples :

En octobre 2013, Christian Boyer a trouvé cette famille symétrique :

et de Lee Morgenstern :

En septembre-octobre 2013, Jean Moreau de Saint-Martin, France, a étudié et vérifié en détails les preuves de Morgenstern sur les séries multimagiques (à partir des fichiers texte zippés ci-dessus), et n'a pas trouvé d'erreur.

Et il a été plus loin, simplifiant et généralisant les preuves de Morgenstern. Aussi utilisant quelques-unes de mes remarques et calculs, nous avons maintenant de nouvelles preuves d'impossibilité :

 Voilà cette étude sur les séries multimagiques :

En février 2017, Lee Morgenstern a récapitulé ses nombreuses preuves sur les séries multimagiques (en anglais) jusqu'à l'ordre 44, et jusqu'aux octamagiques. Sa remarque :

    "Importantes sont les preuves mathématiques des trimagiques d'ordre 7 et des hexamagiques d'ordre 16 parce qu'elles utilisent des techniques uniques. Peut-être que quelqu'un peut les utiliser pour attaquer les hexamagiques d'ordre 27."

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