Cubes magiques multiplicatifs pandiagonaux parfaits

Qu'est-ce qu'un cube magique multiplicatif pandiagonal parfait ?

Comme présenté dans la page des cubes magiques multiplicatifs, un cube magique pandiagonal parfait a tous ses alignements (lignes, colonnes, piles, triagonales, diagonales, triagonales brisées et diagonales brisées) qui sont magiques. C'est un cube magique parfait qui reste magique parfait quand une face du cube est déplacée parallèlement à elle-même, de son côté au côté opposé du cube. Ce sont les MEILLEURS cubes possibles : n'importe quel alignement, entier ou brisé, de nombres, dans n'importe quelle direction, donne toujours le même produit !

Puisqu'une cellule d'un cube a 3^3 - 1 = 26 cellules adjacentes, un cube magique multiplicatif pandiagonal parfait d'ordre n a tous ses 13n² alignements qui sont magiques.

Mes 4 meilleurs cubes magiques multiplicatifs pandiagonaux parfaits, et le cube de Shirakawa, extraits de la table générale, sont :

Merci encore à Edwin Clark, Département Mathématiques, University of South Florida, Etats-Unis, pour ses tests en 2006 de tous mes cubes multiplicatifs pandiagonaux parfaits, confirmant qu'ils ont bien toutes les caractéristiques annoncées.

Quel est le plus petit produit magique P possible ?
(des cubes magiques multiplicatifs pandiagonaux parfaits)

Ce problème est aussi un problème de factorisation en 3 dimensions :

Quel est le plus petit entier composé P duquel on peut prendre et organiser des facteurs distincts en un cube multiplicatif ? Le résultat de la multiplication de ces nombres de n'importe quel alignement dans n'importe quelle direction (incluant toutes les diagonales brisées et triagonales brisées) doit toujours être égal à ce même entier P. Et quel est la taille (=ordre) de ce cube ?

>> En 2 dimensions (carrés), la réponse est connue. Le plus petit entier est 14400, dont on organise des facteurs distincts en un carré d'ordre 4 de cette façon :

Quand on multiplie les entiers de n'importe quelle ligne, colonne, ou diagonale (incluant les brisées), on obtient toujours 14400. Il y a ici 32 façons différentes d'obtenir 14400.

>> En 3 dimensions (cubes), la question est un problème ouvert. Je n'en ai pas la réponse, mais mon plus petit entier composé est :

        89 518 183 823 250 314 294 722 560 000

organisant 512 de ses facteurs en un cube d'ordre 8. Puisque c'est un cube parfait pandiagonal d'ordre 8, il y a 13·8² = 832 façons différentes d'obtenir le même produit P.

Quel est le plus petit nombre maximum possible ?
(des cubes magiques multiplicatifs pandiagonaux parfaits)

Mon meilleur résultat est 24 992, utilisé dans un cube d'ordre 11.

Cela signifie que les nombres utilisés dans ce cube sont plus petits que les nombres utilisés dans des cubes plus petits ! En effet, les plus petits Nbs max connus des ordres 8 et 9 sont plus gros : 17 297 280 et 591 192.

Puisque c'est un cube parfait pandiagonal d'ordre 11, il y a 13·11² = 1573 différentes façons d'obtenir le même produit P.

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