Le plus petit carré tétramagique possible

Quel est le plus petit carré tétramagique (4-multimagique) possible ? On ne sait pas, on sait seulement que c'est peut-être 24x24, ou entre 27x27 et 243x243.

Le plus petit carré tétramagique connu est le 243x243 découvert en février 2004 par Pan Fengchu.

Montrons qu'un carré tétramagique de taille ≤ 23, ou 25x25 et 26x26, ne peuvent exister.

Carré tétramagique 11x11 ? Ou plus petit ?

Puisqu'il n'existe pas de carrés trimagiques 11x11 ou plus petits, il ne peut pas non plus exister de carrés tétramagiques 11x11 ou plus petits.

D'ailleurs, même une construction partielle d'un carré tétramagique 11x11 est impossible, puisqu'il n'existe aucune série tétramagique d'ordre 11.

Carré tétramagique 12x12 ?

Il y a exactement 106 séries ce qui pourrait être suffisant pour construire un carré tétramagique 12x12, puisque 26 séries (12 lignes + 12 colonnes + 2 diagonales) "bien choisies" pourraient suffire. Mais elles ne sont pas assez nombreuses. Par exemple, le nombre 1 doit être présent dans le carré, et parmi les 106 séries, il y a seulement 5 séries utilisant 1 :

• S1:    1       23      44      47      48      50      75      96      112     115     120     139
• S2:    1       26      33      44      52      68      69      85      112     120     125     135
• S3:    1       29      30      45      54      58      71      97      110     112     125     138
• S4:    1       29      37      38      50      54      90      96      97       110     133     135
• S5:    1       30      34      38      50      65      69      103    110     112     117     141

Parmi ces 5 séries, le carré en nécessite deux, une pour la ligne + une pour la colonne, qui se coupent sur le nombre 1, aucun autre nombre ne doit être en commun. C'est impossible, tous les couples possibles de ces séries a d'autres nombres en commun :

	S1	S2	S3	S4	S5
S1	X
S2	44, 112, 120	X
S3	112	112, 125	X
S4	50, 96	135	29, 54, 110	X
S5	50, 112	69, 112	30, 110, 112	38, 50, 110	X

Un carré tétramagique 12x12 ne peut donc exister.

Carré tétramagique 13x13 ?

La somme magique S4 est 2152397897 = 9 mod 16. Puisque (2x+1)^4 = 1 mod 16 et (2x)^4 = 0 mod 16, chaque série a 9 nombres impairs. Les 13 lignes du carrés auraient donc 13x9 = 117 nombres impairs, alors que dans un carré 13x13 il faut placer seulement 85 impairs.

Un carré tétramagique 13x13 ne peut donc exister.

Carré tétramagique 14x14 ou 15x15 ?

Il n'y a aucune série tétramagique pour ces ordres.

Un carré tétramagique 14x14 ou 15x15 ne peut donc exister.

Carré tétramagique 16x16 ?

Il y a 235275 séries, on peut penser que cela pourrait être suffisant, mais nous allons prouver qu'elles ne peuvent être organisées dans un carré tétramagique en utilisant un raisonnement modulo 9. Les sommes magiques d'un carré tétramagique 16x16 (S1 n'est pas utile dans la preuve) sont :

• S2 = 351576 = 0 mod 9
• S3 = 67634176 = 4 mod 9
• S4 = 13878462600 = 0 mod 9
   

n	n2 mod 9	n3 mod 9	n4 mod 9
0	0	0	0
1	1	1	1
2	4	8	7
3	0	0	0
4	7	1	4
5	7	8	4
6	0	0	0
7	4	1	7
8	1	8	1

Dans une série tétramagique de 16 entiers, en appelant a_i le nombre d'entiers qui sont égaux à i mod 9, et en utilisant la table ci-dessus, on a ce système d'équations :

• a₀ + a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ + a₆ + a₇ + a₈ = 16   (avec 0  ≤ a_i  ≤ 16)
• a₁ + 4a₂ + 7a₄ + 7a₅ + 4a₇ +   a₈ = 0 mod 9   (en utilisant S2)
• a₁ + 8a₂ +   a₄ + 8a₅ +   a₇ + 8a₈ = 4 mod 9   (en utilisant S3)
• a₁ + 7a₂ + 4a₄ + 4a₅ + 7a₇ +   a₈ = 0 mod 9   (en utilisant S4)

Analysant toutes les solutions possibles de ce systèmes, elles sont toujours :

• a₀ + a₃ + a₆ = 7
• a₁ + a₄ + a₇ = 2
• a₂ + a₅ + a₈ = 7

En changeant de mod 9 à mod 3, cela signifie aussi que chaque série tétramagique a ses 16 entiers toujours répartis de cette façon :

• 7 entiers sont 0 mod 3
• 2 entiers sont 1 mod 3
• 7 entiers sont 2 mod 3

Avec de telles séries, il est évidemment impossible d'obtenir 16 lignes utilisant tous les entiers de 1 à 256.

Un carré tétramagique 16x16 ne peut donc exister.

Carré tétramagique 17x17, 18x18 ou 19x19 ?

Pour les ordres 17 et 19, Michael Quist m'a envoyé ces courtes preuves en mai 2008 utilisant (2x+1)^4 = 1 mod 16 et (2x)^4 = 0 mod 16 :

Alors qu'il peut y avoir des séries tétramagiques d'ordre 17, il ne peut y avoir de carré tétramagique. Puisque S(4,17)%16 = 1, chaque série tétramagique d'ordre 17 a soit 1 soit 17 éléments impairs. Dans 1...17^2 il y a (17^2-1)/2 = 145 nombres impairs à prendre en compte. Cela peut se faire seulement en ayant exactement 8 lignes entièrement impaires, et 9 lignes avec chacune un seul élément impair. Le même raisonnement s'applique aux colonnes : il doit y avoir 8 colonnes entièrement impaires, et 9 colonnes avec un seul élément impair. Mais puisqu'il y a 8 lignes entièrement impaires, chaque colonne doit avoir  au moins 8 éléments impairs; il ne peut y en avoir avec seulement un élément impair.

C'est même plus simple de montrer qu'il ne peut y avoir de carré tétramagique d'ordre 19. Ici S(4,19)%16 = 7, donc chaque série tétramagique d'ordre 19 a exactement 7 éléments impairs. Dans tout ensemble de 19 lignes, il y aurait alors seulement 7*19 = 133 nombres impairs, ce qui est trop peu pour les (19^2-1)/2 = 180 situés dans 1...19^2.

Un carré tétramagique 17x17, 18x18 ou 19x19 ne peut donc exister.

Carré tétramagique 20x20, 21x21, 22x22 ou 23x23 ?

En février-mars 2013, Lee Morgenstern a prouvé que les carrés tétramagiques 20x20, 21x21 et 23x23 ne peuvent exister. Voir ses preuves (en anglais, et aussi incluant d'autres preuves des ordres ≥ 12)

Carré tétramagique 24x24 ?

Peut peut-être exister ! Qui essaiera ?

Carré tétramagique 25x25 ou 26x26 ?

En avril 2013, Lee Morgenstern a prouvé qu'un carré tétramagique 25x25 ne peut exister. Voir sa preuve (en anglais).

Carré tétramagique 27x27 ?

Peut peut-être exister ! Qui essaiera ?

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