Le plus petit carré trimagique possible

Quel est le plus petit carré trimagique (3-multimagique) possible ? Le plus petit carré trimagique connu est le 12x12 découvert en juin 2002 par Walter Trump.

Montrons qu'un carré trimagique de taille inférieure à 12x12 ne peut exister.

Carré trimagique 7x7 ? Ou plus petit ?

Puisqu'il n'existe pas de carrés bimagiques 7x7 ou plus petits, il ne peut pas non plus exister de carrés trimagiques 7x7 ou plus petits.

D'ailleurs, même une construction partielle d'un carré trimagique 7x7 est impossible, puisqu'il n'existe aucune série trimagique d'ordre 7.

Carré trimagique 8x8 ?

Si l'on étudie informatiquement d'éventuels carrés trimagiques 8x8, on est surpris de trouver autant de séries trimagiques, c'est-à-dire des séries d'entiers différents compris entre 1 et 64, ayant pour sommes S1 = 260, S2 = 11 180, et S3 = 540 800.

Il y a exactement 121 séries ce qui pourrait être suffisant pour construire un carré trimagique 8x8, puisque 18 séries (8 lignes + 8 colonnes + 2 diagonales) "bien choisies" pourraient suffire. Essayons de trouver 8 séries entièrement distinctes, c'est-à-dire comportant l'ensemble des 64 entiers. On peut trouver de très nombreux (5 719) ensembles de 6 séries distinctes trimagiques, comme par exemple celui construit à partir de G1, G14, G33, G54, G84 et G103 :

• G1 = 64, 51, 38, 33, 32, 27, 14, 1
• G14 = 63, 53, 36, 34, 31, 29, 12, 2
• G33 = 62, 52, 41, 39, 26, 24, 13, 3
• G54 = 61, 50, 48, 35, 30, 17, 15, 4
• G84 = 59, 54, 43, 42, 23, 22, 11, 6
• G103 = 57, 56, 45, 40, 25, 20, 9, 8

Mais on ne peut hélas aller plus loin, il est impossible de trouver des ensembles de 8 séries (ou 7, ce qui revient au même) trimagiques.

Un carré trimagique 8x8 ne peut donc exister.

Télécharger les 121 séries trimagiques 8x8 et les 5 719 ensembles de 6 séries fichier Excel zippé de 176Ko.

Carré trimagique 9x9 ?

Pour les éventuels carrés trimagiques 9x9, essayons de placer le nombre 81. Il n'existe que 3 séries d'entiers distincts, compris entre 1 et 81, ayant S1 = 369, S2 = 20 049, S3 = 1 225 449, et comportant 81 :

• G1 = 81, 67, 51, 49, 41, 35, 31, 11, 3
• G2 = 81, 63, 55, 49, 47, 35, 23, 9, 7
• G3 = 81, 59, 55, 53, 51, 31, 21, 11, 7

Pour que 81 soit présent dans une ligne et une colonne du carré, il faut avoir 2 séries différentes n'ayant en commun que le 81 (et il faudrait même 3 séries différentes si 81 est situé sur une diagonale, et 4 séries si 81 était situé dans la cellule centrale). Or :

• G1 et G2 ont en commun 81, 49, et 35
• G1 et G3 ont en commun 81, 31, et 11
• G2 et G3 ont en commun 81, 55, et 7

Un carré trimagiques 9x9 ne peut donc exister.

Télécharger les 126 séries trimagiques 9x9, fichier Excel de 39Ko.

Carré trimagique 10x10 ?

Pour les éventuels carrés trimagiques 10x10, la situation est plus simple. Les sommes magiques valent : S1 = 505, S2 = 33 835, S3 = 2 550 250. Il ne peut y avoir de séries d'entiers ayant S3 pair alors que S1 et S2 sont impairs.

Un carré trimagique 10x10 ne peut donc exister.

Carré trimagique 11x11 ?

Voici une jolie preuve de la non-existence de carrés trimagiques 11x11 faite par Walter Trump (Allemagne) en mai 2002.

Les sommes magiques valent : S1 = 671, S2 = 54 351, S3 = 4 952 651

Comme sa démonstration complète (en anglais) le montre à partir de considérations sur S1, S2 et S3 modulo 4 et 8 (S1 = 3 mod 4, S2 = 3 mod 4, et S3 = 7 mod 8), une série trimagique ne peut comporter que 7 impairs. Les 11 lignes du carrés auraient donc 7x11 = 77 nombres impairs, alors que dans un carré 11x11 il faut placer seulement 61 impairs.

Un carré trimagique 11x11 ne peut donc exister.

Aucun carré trimagique plus petit que 12x12 ne peut exister. Le carré trimagique 12x12 de Walter Trump ne peut donc être battu !

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