Carrés magiques additifs-multiplicatifs d'ordre 8 et 9
Plus petits carrés magiques multiplicatifs d'ordre 8 et 9
C
arrés magiques multiplicatifs pandiagonaux d'ordre 8 et 9


Après les carrés magiques multiplicatifs d'ordre 3-4-56-7, et avant les carrés multiplicatifs d'ordre >=10 et carrés additifs-multiplicatifs d'ordre >= 10,  voici les ordres 8 et 9.

Walter W. Horner (1894 - 1988)

Dans les années 50, Walter W. Horner, un professeur américain de mathématiques, a construit les premiers carrés magiques additifs-multiplicatifs connus (aussi appelés carrés addition-multiplication), plus tard republiés par Joseph S. Madachy et J. A. H. Hunter. Quand vous multipliez les entiers de chaque ligne, colonne ou diagonale, vous obtenez le même produit P. Quand vous ajoutez les entiers de chaque ligne, colonne ou diagonale, vous obtenez la même somme S.


Gakuho Abe, Japon, a construit quelques années plus tard un carré additif-multiplicatif 9x9, mais avec un plus grand P = 1 619 541 385 529 760 000. Ce carré a aussi été signalé par Joseph S. Machady.

En novembre 2005, j'ai construit de meilleurs carrés additifs-multiplicatifs 8x8 et 9x9, "meilleurs" signifiant avec de plus petites constantes. Mes plus petits produits des carrés 8x8 et 9x9 sont respectivement environ 40 fois et 2 fois plus petits que les produits ci-dessus de Horner.



Merci à Ed Pegg Jr, Etats-Unis, qui a été le premier à tester les caractéristiques de mes 4 carrés ci-dessus.


Les plus petits carrés multiplicatifs d'ordre 8 et 9

Tous les carrés magiques additifs-multiplicatifs ci-dessus sont aussi -bien évidemment- des carrés magiques multiplicatifs. Mais si l'on essaye d'optimiser P et Nb max, sans le besoin d'avoir des propriétés additives, alors il est possible de construire de meilleurs carrés.



Carrés multiplicatifs pandiagonaux 8x8 et 9x9


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