MULTIMAGIE.COM - Carrés magiques multiplicatifs d'ordre 6 et 7

Plus petits carrés magiques multiplicatifs d'ordre 6 et 7

Après les carrés magiques multiplicatifs d'ordre 3-4-5, et avant les carrés mutiplicatifs d'ordre 8-9 et >=10, voici mes résultats des ordres 6 et 7.

En 1983, Debra K. Borkovitz et Frank K.-M. Hwang ont publié dans Discrete Mathematics ce carré magique multiplicatif 6x6 :

1983 : carré multiplicatif 6x6,
P = 2 000 376 000, Nb max = 1260,
par Borkovitz & Hwang
1	140	60	21	180	63
315	35	12	84	45	4
126	18	210	30	70	2
10	90	42	6	14	360
252	28	105	15	36	5
20	9	3	420	7	1260

Il semble que c'était l'exemple 6x6 le plus petit connu. Le cas 6x6 est difficile : la méthode des carrés latins, décrite pour les carrés multiplicatifs 4x4 et 5x5, ne marche pas en 6x6. Le fameux "problème des 36 officiers" d'Euler n'a pas de solution, comme Gaston Tarry a été le premier à le prouver en 1900. Est-il possible de construire des carrés multiplicatifs plus petits que l'exemple B&H ?

La réponse est oui : le plus petit produit magique multiplicatif 6x6 possible est P = 25 945 920, plus de 70 fois plus petit que l'exemple B&H. Et le plus petit nombre maximum avec ce produit est plus de 16 fois plus petit que l'exemple B&H. Voici l'un des nombreux exemples avec ce plus petit P et son meilleur nb max :

2005: carré multiplicatif 6x6,
**Plus petit P = 25 945 920**,
Nb max = 78
1	22	39	54	28	20
12	65	18	8	3	77
30	27	14	52	11	4
42	16	6	33	15	13
26	21	44	5	24	9
66	2	10	7	78	36

Pour les carrés 3x3, 4x4, 5x5 et 7x7, le plus petit nombre maximum possible est toujours possible avec le plus petit P. Mais ce n'est pas le cas pour les carrés 6x6 ! Voici un exemple avec le plus petit nombre maximum possible, mais nécessitant un plus gros P :

2005: carré multiplicatif 6x6,
P = 39 916 800,
**Plus petit Nb max = 66**
8	45	42	66	1	40
50	56	44	3	54	2
16	33	5	28	30	18
21	10	15	9	64	22
27	4	6	32	55	35
11	12	48	25	7	36

Encore plus de magie : il est possible d'avoir quelques propriétés additives dans un carré multiplicatif 6x6 ! Voici un exemple avec le même P :

2005: carré multiplicatif 6x6, avec
6 lignes additives-multiplicatives
P = 39 916 800, S = 173,
Nb max = 88
1	36	33	48	35	20
54	55	2	10	24	28
50	14	72	22	12	3
88	16	30	7	5	27
8	6	70	60	18	11
21	15	4	9	44	80

Toutes les lignes de ce carré magique multiplicatifs sont magiquement additives-multiplicatives :

Quand vous multipliez les 6 entiers de chaque ligne, vous obtenez le même produit P
ET quand vous ajoutez ces 6 entiers de chaque ligne, vous obtenez la même somme S = 173

Je ne sais pas si il est possible d'avoir des carrés magiques 6x6 pleinement (lignes+colonnes+diagonales) additifs-multiplicatifs, voir ici.

Les carrés magiques additifs (utilisant des entiers consécutifs) 6x6 pandiagonaux sont impossibles. Mais les carrés magiques multiplicatifs 6x6 pandiagonaux sont possibles ! En 1913, Harry A. Sayles a publié ce carré magique multiplicatif pandiagonal 6x6, signifiant donc que toutes les diagonales brisées ont le même produit P.

1913: carré magique multiplicatif pandiagonal 6x6,
P = 101 559 956 668 416,
Nb max = 46 656, par Sayles[292, 560]
729	192	9	46656	3	576
32	486	2592	2	7776	162
11664	12	144	2916	48	36
1	15552	81	64	243	5184
23328	6	288	1458	96	18
16	972	1296	4	3888	324

C'est aussi un carré magique plus-que-parfait ("most-perfect") : tous ses sous-carrés 2x2 (comme par exemple celui en vert) ont le même produit P'. Et encore une autre propriété : tous ses sous-carrés 3x3 (comme par exemple celui en bleu) ont le même produit P''.

Est-il possible de faire mieux ? Oui. Voici mon meilleur carré magique multiplicatif pandiagonal 6x6 avec mon plus petit produit P, plus de 30 fois plus petit que le P de l'exemple de Sayles. Et il a aussi les mêmes propriétés 2x2 et 3x3.

2006: carré magique multiplicatif pandiagonal 6x6,
**P = 2 985 984 000 000**,
Nb max = 4 800
5	720	160	45	80	1440
4800	12	150	192	300	6
9	400	288	25	144	800
320	180	10	2880	20	90
75	48	2400	3	1200	96
576	100	18	1600	36	50

Et voici mon meilleur carré magique multiplicatif pandiagonal 6x6 avec mon plus petit Nb max, plus de 10 fois plus petit que le P de l'exemple de Sayles. Et il a aussi les mêmes propriétés 2x2 et 3x3.

2006: carré magique multiplicatif pandiagonal 6x6,
P = 85 766 121 000 000,
**Nb max = 4 410**
14	2100	63	350	84	1575
4410	15	980	90	735	20
50	588	225	98	300	441
126	525	28	3150	21	700
490	60	2205	10	2940	45
450	147	100	882	75	196

En mai 2012, Radko Nachev bat mes résultats précédents avec ce très beau carré. Son carré n'a plus les propriétés 2x2, mais a encore les 3x3. Radko Nachev, né en 1950 à Sofia, Bulgarie, est ingénieur civil assistant au Département des Transports à New York City, USA.

2012: carré magique multiplicatif pandiagonal 6x6, par Radko Nachev
P = 46 656 000 000,
Nb max = 3 600
1	36	600	80	120	225
300	1800	3	5	144	40
200	4	360	150	15	72
45	30	16	3600	100	6
720	25	90	12	2	1200
24	240	50	18	900	10

Mais en février 2014, Oscar Lanzi améliore astucieusement le carré de Nachev ! En remplaçant simplement les facteurs 3^n par 3^(2-n), il obtient ce carré ayant le même P, mais avec un meilleur NbMax de 1800 au lieu de 3600. Oscar Lanzi est ingénieur à ArcelorMittal LLC, East Chicago (Indiana, USA), Global R&D. Né en 1960 à Canton (Ohio), actuellement habitant à Chicago.

2014: carré magique multiplicatif pandiagonal 6x6, par Oscar Lanzi
P = 46 656 000 000,
Nb max = 1 800
9	4	600	720	120	25
300	200	3	45	16	360
1800	36	40	150	15	8
5	30	144	400	900	6
80	225	10	12	18	1200
24	240	450	2	100	90

En décembre 2007, Lee Morgenstern a prouvé que le produit magique de tout carré magique multiplicatif pandiagonal 6x6 est toujours une puissance 6. Regardez les carrés ci-dessus, leurs produits sont :

P = 101 559 956 668 416 = 216⁶
P = 2 985 984 000 000 = 120⁶
P = 85 766 121 000 000 = 210⁶
P = 46 656 000 000 = 60⁶

Voir ici sa preuve de la puissance 6 (en anglais).

En mai 2015, Oscar Lanzi a proposé cette preuve: le plus petit produit magique possible des carrés magiques multiplicatifs pandiagonaux 6x6 est 60⁶. Voir ici sa preuve (fichier PDF de 655Ko), en anglais.

Les dix plus petits produits magiques pour les carrés magiques multiplicatifs 6x6 sont :

Les dix plus petits produits magiques P
des carrés magiques multiplicatifs 6x6
#	P	= 2^	· 3^	· 5^	· 7^	· 11^	· 13^	· 17^	· 19^
1	25 945 920	6	4	1	1	1	1	0	0
2	26 611 200	9	3	2	1	1	0	0	0
3	28 828 800	7	2	2	1	1	1	0	0
4	29 937 600	6	5	2	1	1	0	0	0
5	31 449 600	9	3	2	1	0	1	0	0
6	33 264 000	7	3	3	1	1	0	0	0
7	33 929 280	6	4	1	1	1	0	1	0
8	34 594 560	8	3	1	1	1	1	0	0
9	34 927 200	5	4	2	2	1	0	0	0
10	35 380 800	6	5	2	1	0	1	0	0

Pour plus de termes : voir la liste 6x6 référencée en janvier 2006 sous le numéro A113026 dans la On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS Foundation.

Les plus petits carrés multiplicatifs d'ordre 7

Et au sujet des carrés multiplicatifs 7x7 ? Il semble que le problème est nouveau, je n'ai jamais vu d'exemple 7x7 publié.

Voici un exemple utilisant le produit le plus petit possible, et utilisant le nombre maximum le plus petit possible :

2005: carré multiplicatif 7x7,
**Plus petit P = 3 632 428 800**,
**Plus petit Nb max = 91**
11	27	1	64	60	49	65
52	35	36	55	2	12	42
28	48	39	10	70	33	3
25	44	56	9	18	26	14
6	5	77	78	84	8	30
63	4	40	21	13	20	66
24	91	15	7	22	45	16

Comme pour les carrés 6x6, il est possible d'avoir quelques propriétés additives dans un carré multiplicatif 7x7. Mais cette fois directement avec le même plus petit P, et le même plus petit nombre maximum !!

2005: carré multiplicatif 7x7,
avec 7 lignes additives-multiplicatives,
**Plus petit P = 3 632 428 800**, S = 238,
**Plus petit Nb max = 91**
35	48	1	39	40	33	42
77	65	20	16	36	3	21
4	56	54	7	26	25	66
9	14	44	24	6	91	50
52	5	70	63	22	18	8
12	11	84	10	15	28	78
60	27	13	55	49	32	2

Sur les carrés magiques 7x7 pleinement (lignes+colonnes+diagonales) additifs-multiplicatifs, voir ici.

Il est possible d'avoir des carrés magiques multiplicatifs pandiagonaux 7x7, signifiant que toutes les diagonales brisées sont aussi multiplicativement magiques. Voici deux exemples, utilisant probablement le plus petit P possible (premier exemple) et le plus petit nb max possible (deuxième exemple) des carrés pandiagonaux 7x7 :

2005: carré multiplicatif pandiag. 7x7,
**P = 8 821 612 800**, Nb max = 136
22	36	6	13	30	35	136
21	85	88	18	4	78	10
52	60	7	51	55	72	2
45	8	26	40	42	17	33
102	11	27	5	104	20	28
80	14	68	66	9	3	65
1	39	50	56	34	44	54

2005: carré multiplicatif pandiag. 7x7,
P = 17 643 225 600, **Nb max = 119**
54	17	39	50	7	32	44
112	22	36	102	13	30	5
10	3	80	77	18	68	78
34	52	60	1	48	55	63
33	45	119	26	40	6	16
4	96	11	27	85	91	20
65	70	2	64	66	9	51

Les dix plus petits produits magiques pour les carrés magiques multiplicatifs 7x7 sont :

Les dix plus petits produits magiques P
des carrés magiques multiplicatifs 7x7
#	P	= 2^	· 3^	· 5^	· 7^	· 11^	· 13^	· 17^	· 19^
1	3 632 428 800	8	4	2	2	1	1	0	0
2	4 151 347 200	11	4	2	1	1	1	0	0
3	4 410 806 400	7	4	2	1	1	1	1	0
4	4 540 536 000	6	4	3	2	1	1	0	0
5	4 670 265 600	8	6	2	1	1	1	0	0
6	4 750 099 200	8	4	2	2	1	0	1	0
7	4 843 238 400	10	3	2	2	1	1	0	0
8	4 929 724 800	7	4	2	1	1	1	0	1
9	5 145 940 800	6	3	2	2	1	1	1	0
10	5 189 184 000	9	4	3	1	1	1	0	0

Pour plus de termes : voir la liste 7x7 référencée en janvier 2006 sous le numéro A113027 dans la On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS Foundation.

Retour à la page d'accueil http://www.multimagie.com

1	22	39	54	28	20
12	65	18	8	3	77
30	27	14	52	11	4
42	16	6	33	15	13
26	21	44	5	24	9
66	2	10	7	78	36

8	45	42	66	1	40
50	56	44	3	54	2
16	33	5	28	30	18
21	10	15	9	64	22
27	4	6	32	55	35
11	12	48	25	7	36

1	36	33	48	35	20
54	55	2	10	24	28
50	14	72	22	12	3
88	16	30	7	5	27
8	6	70	60	18	11
21	15	4	9	44	80

11	27	1	64	60	49	65
52	35	36	55	2	12	42
28	48	39	10	70	33	3
25	44	56	9	18	26	14
6	5	77	78	84	8	30
63	4	40	21	13	20	66
24	91	15	7	22	45	16

35	48	1	39	40	33	42
77	65	20	16	36	3	21
4	56	54	7	26	25	66
9	14	44	24	6	91	50
52	5	70	63	22	18	8
12	11	84	10	15	28	78
60	27	13	55	49	32	2

22	36	6	13	30	35	136
21	85	88	18	4	78	10
52	60	7	51	55	72	2
45	8	26	40	42	17	33
102	11	27	5	104	20	28
80	14	68	66	9	3	65
1	39	50	56	34	44	54

54	17	39	50	7	32	44
112	22	36	102	13	30	5
10	3	80	77	18	68	78
34	52	60	1	48	55	63
33	45	119	26	40	6	16
4	96	11	27	85	91	20
65	70	2	64	66	9	51

1	22	39	54	28	20
12	65	18	8	3	77
30	27	14	52	11	4
42	16	6	33	15	13
26	21	44	5	24	9
66	2	10	7	78	36

8	45	42	66	1	40
50	56	44	3	54	2
16	33	5	28	30	18
21	10	15	9	64	22
27	4	6	32	55	35
11	12	48	25	7	36

1	36	33	48	35	20
54	55	2	10	24	28
50	14	72	22	12	3
88	16	30	7	5	27
8	6	70	60	18	11
21	15	4	9	44	80

11	27	1	64	60	49	65
52	35	36	55	2	12	42
28	48	39	10	70	33	3
25	44	56	9	18	26	14
6	5	77	78	84	8	30
63	4	40	21	13	20	66
24	91	15	7	22	45	16

35	48	1	39	40	33	42
77	65	20	16	36	3	21
4	56	54	7	26	25	66
9	14	44	24	6	91	50
52	5	70	63	22	18	8
12	11	84	10	15	28	78
60	27	13	55	49	32	2

22	36	6	13	30	35	136
21	85	88	18	4	78	10
52	60	7	51	55	72	2
45	8	26	40	42	17	33
102	11	27	5	104	20	28
80	14	68	66	9	3	65
1	39	50	56	34	44	54

54	17	39	50	7	32	44
112	22	36	102	13	30	5
10	3	80	77	18	68	78
34	52	60	1	48	55	63
33	45	119	26	40	6	16
4	96	11	27	85	91	20
65	70	2	64	66	9	51

1	22	39	54	28	20
12	65	18	8	3	77
30	27	14	52	11	4
42	16	6	33	15	13
26	21	44	5	24	9
66	2	10	7	78	36

8	45	42	66	1	40
50	56	44	3	54	2
16	33	5	28	30	18
21	10	15	9	64	22
27	4	6	32	55	35
11	12	48	25	7	36

1	36	33	48	35	20
54	55	2	10	24	28
50	14	72	22	12	3
88	16	30	7	5	27
8	6	70	60	18	11
21	15	4	9	44	80

11	27	1	64	60	49	65
52	35	36	55	2	12	42
28	48	39	10	70	33	3
25	44	56	9	18	26	14
6	5	77	78	84	8	30
63	4	40	21	13	20	66
24	91	15	7	22	45	16

35	48	1	39	40	33	42
77	65	20	16	36	3	21
4	56	54	7	26	25	66
9	14	44	24	6	91	50
52	5	70	63	22	18	8
12	11	84	10	15	28	78
60	27	13	55	49	32	2

22	36	6	13	30	35	136
21	85	88	18	4	78	10
52	60	7	51	55	72	2
45	8	26	40	42	17	33
102	11	27	5	104	20	28
80	14	68	66	9	3	65
1	39	50	56	34	44	54

54	17	39	50	7	32	44
112	22	36	102	13	30	5
10	3	80	77	18	68	78
34	52	60	1	48	55	63
33	45	119	26	40	6	16
4	96	11	27	85	91	20
65	70	2	64	66	9	51