Plus petits carrés magiques multiplicatifs d'ordre 6 et 7


Après les carrés magiques multiplicatifs d'ordre 3-4-5, et avant les carrés mutiplicatifs d'ordre 8-9 et >=10,  voici mes résultats des ordres 6 et 7.

En 1983, Debra K. Borkovitz et Frank K.-M. Hwang ont publié dans Discrete Mathematics ce carré magique multiplicatif 6x6 :

Il semble que c'était l'exemple 6x6 le plus petit connu. Le cas 6x6 est difficile : la méthode des carrés latins, décrite pour les carrés multiplicatifs 4x4 et 5x5, ne marche pas en 6x6. Le fameux "problème des 36 officiers" d'Euler n'a pas de solution, comme Gaston Tarry a été le premier à le prouver en 1900. Est-il possible de construire des carrés multiplicatifs plus petits que l'exemple B&H ?

La réponse est oui : le plus petit produit magique multiplicatif 6x6 possible est P = 25 945 920, plus de 70 fois plus petit que l'exemple B&H. Et le plus petit nombre maximum avec ce produit est plus de 16 fois plus petit que l'exemple B&H. Voici l'un des nombreux exemples avec ce plus petit P et son meilleur nb max :

Pour les carrés 3x3, 4x4, 5x5 et 7x7, le plus petit nombre maximum possible est toujours possible avec le plus petit P. Mais ce n'est pas le cas pour les carrés 6x6 ! Voici un exemple avec le plus petit nombre maximum possible, mais nécessitant un plus gros P :

Encore plus de magie : il est possible d'avoir quelques propriétés additives dans un carré multiplicatif 6x6 ! Voici un exemple avec le même P :

Toutes les lignes de ce carré magique multiplicatifs sont magiquement additives-multiplicatives :

Les carrés magiques additifs (utilisant des entiers consécutifs) 6x6 pandiagonaux sont impossibles. Mais les carrés magiques multiplicatifs 6x6 pandiagonaux sont possibles ! En 1913, Harry A. Sayles a publié ce carré magique multiplicatif pandiagonal 6x6, signifiant donc que toutes les diagonales brisées ont le même produit P.

C'est aussi un carré magique plus-que-parfait ("most-perfect") : tous ses sous-carrés 2x2 (comme par exemple celui en vert) ont le même produit P'. Et encore une autre propriété : tous ses sous-carrés 3x3 (comme par exemple celui en bleu) ont le même produit P''.

Est-il possible de faire mieux ? Oui. Voici mon meilleur carré magique multiplicatif pandiagonal 6x6 avec mon plus petit produit P, plus de 30 fois plus petit que le P de l'exemple de Sayles. Et il a aussi les mêmes propriétés 2x2 et 3x3.

Et voici mon meilleur carré magique multiplicatif pandiagonal 6x6 avec mon plus petit Nb max, plus de 10 fois plus petit que le P de l'exemple de Sayles. Et il a aussi les mêmes propriétés 2x2 et 3x3.

En mai 2012, Radko Nachev bat mes résultats précédents avec ce très beau carré. Son carré n'a plus les propriétés 2x2, mais a encore les 3x3. Radko Nachev, né en 1950 à Sofia, Bulgarie, est ingénieur civil assistant au Département des Transports à New York City, USA.

Mais en février 2014, Oscar Lanzi améliore astucieusement le carré de Nachev ! En remplaçant simplement les facteurs 3^n par 3^(2-n), il obtient ce carré ayant le même P, mais avec un meilleur NbMax de 1800 au lieu de 3600. Oscar Lanzi est ingénieur à ArcelorMittal LLC, East Chicago (Indiana, USA), Global R&D. Né en 1960 à Canton (Ohio), actuellement habitant à Chicago.

En décembre 2007, Lee Morgenstern a prouvé que le produit magique de tout carré magique multiplicatif pandiagonal 6x6 est toujours une puissance 6. Regardez les carrés ci-dessus, leurs produits sont :

Voir ici sa preuve de la puissance 6 (en anglais).

En mai 2015, Oscar Lanzi a proposé cette preuve: le plus petit produit magique possible des carrés magiques multiplicatifs pandiagonaux 6x6 est 606. Voir ici sa preuve (fichier PDF de 655Ko), en anglais.

Les dix plus petits produits magiques pour les carrés magiques multiplicatifs 6x6 sont :

Pour plus de termes : voir la liste 6x6 référencée en janvier 2006 sous le numéro A113026 dans la On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS Foundation.


Les plus petits carrés multiplicatifs d'ordre 7

Et au sujet des carrés multiplicatifs 7x7 ? Il semble que le problème est nouveau, je n'ai jamais vu d'exemple 7x7 publié.

Voici un exemple utilisant le produit le plus petit possible, et utilisant le nombre maximum le plus petit possible :

Comme pour les carrés 6x6, il est possible d'avoir quelques propriétés additives dans un carré multiplicatif 7x7. Mais cette fois directement avec le même plus petit P, et le même plus petit nombre maximum !!

Je ne sais pas si il est possible d'avoir des carrés magiques 6x6 ou 7x7 pleinement (lignes+colonnes+diagonales) additifs-multiplicatifs, comme cela est possible avec les carrés additifs-multiplicatifs 8x8 et 9x9.

Mais il est possible d'avoir des carrés magiques multiplicatifs pandiagonaux 7x7, signifiant que toutes les diagonales brisées sont aussi multiplicativement magiques. Voici deux exemples, utilisant probablement le plus petit P possible (premier exemple) et le plus petit nb max possible (deuxième exemple) des carrés pandiagonaux 7x7 :

Les dix plus petits produits magiques pour les carrés magiques multiplicatifs 7x7 sont :

Pour plus de termes : voir la liste 7x7 référencée en janvier 2006 sous le numéro A113027 dans la On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS Foundation.


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