Le plus petit cube bimagique possible
Voir aussi le plus petit carré bimagique possible

Les plus petits cubes bimagiques actuellement connus sont d'ordre 16 construits en janvier 2003. Mais est-il possible de construire des cubes bimagiques plus petits  ?

• cube bimagique d'ordre 3 ?
• cube bimagique d'ordre 4 ?
• cube bimagique d'ordre 5 ?
• cube bimagique d'ordre 6 ?
• cube bimagique d'ordre 7 ?
• cube bimagique d'ordre 8 ?

Ordre 3

Preuve #1: Il y a seulement 4 cubes magiques différents d'ordre 3.

Aucun d'entre eux n'est bimagique, donc un cube bimagique d'ordre 3 ne peut exister.

Preuve #2: Il y a seulement 4 séries bimagiques d'ordre 3 (S1=42, S2=770).

• 3       19      20
• 4       15      23
• 5       13      24
• 8       9       25

Un cube bimagique d'ordre 3 nécessite 3*3² + 4 = 31 séries bimagiques différentes.

Un cube bimagique d'ordre 3 ne peut exister.

Ordre 4

Il y a seulement 8 séries bimagiques d'ordre 4 (S1=130, S2=5 590)

• 1       38      44      47
• 1       39      42      48
• 3       36      37      54
• 6       28      39      57
• 8       26      37      59
• 11      28      29      62
• 17      23      26      64
• 18      21      27      64

Un cube bimagique d'ordre 4 nécessite 3*4² + 4 = 52 séries bimagiques différentes.

Un cube bimagique d'ordre 4 ne peut exister.

Ordre 5

Il y a 272 séries bimagiques d'ordre 5 (S1=315, S2=26 355)

Un cube bimagique d'ordre 4 nécessite 3*5² + 4 = 79 séries bimagiques différentes. 272 séries pourraient suffire.

Les carrés de nombres pairs étant de la forme 4k, et les carrés de nombres impairs étant de la forme 4k+1, une somme de 5 carrés peut être de la forme 4k+3 si et seulement si la série contient 3 nombres impairs.

Donc toutes ces séries utilisent 3 nombres impairs + 2 nombres pairs.

Cela implique que tout ensemble de 25 séries bimagiques utilisera 75 nombres impairs + 50 nombres pairs. Il est donc impossible de répartir tous les nombres (de 1 à 125) en 25 séries bimagiques.

Un cube bimagique d'ordre 5 ne peut exister.

Ordre 6

Il y a 25.270 séries bimagiques d'ordre 6 (S1=651, S2=93 961)

Les carrés de nombres pairs étant de la forme 4k, et les carrés de nombres impairs étant de la forme 4k+1, une somme de 6 carrés peut être de la forme 4k+1 si et seulement si la série contient 1 ou 5 nombres impairs.

Donc toutes ces séries utilisent :

• 5 nombres impairs + 1 nombre pair,
• ou 1 nombres impair + 5 nombres pairs.

Utilisant ce premier élément, Walter Trump a prouvé que tout plan d'un cube bimagique d'ordre 6 contiendrait 6, 10, 26 ou 30 nombres pairs, et a prouvé qu'il est finalement impossible de construire un cube bimagique avec de tels plans. Voir sa preuve (en anglais).

Un cube bimagique d'ordre 6 ne peut exister.

Ordre 7

Il y a 5.152.529 séries bimagiques d'ordre 7 (S1=1 204, S2=275 716)

Les carrés de nombres pairs étant de la forme 4k, et les carrés de nombres impairs étant de la forme 4k+1, une somme de 7 carrés peut être de la forme 4k si et seulement si la série contient 0 ou 4 nombres impairs.

Si la série contient 0 nombre impair, alors tous les nombres sont 4k ou 4k+2.

1. La somme S1 étant de la forme 4k, alors une telle série contient un nombre pair de nombres 4k+2.
2. La somme S2 étant de la forme 16k'+4, les carrés de nombres 4k étant de la forme 16k', les carrés de nombres 4k+2 étant de la forme 16k'+4, alors une telle série contient 1 ou 5 fois des nombres 4k+2.

1) & 2) = impossible : une série bimagique d'ordre 7 ne peut contenir 0 nombre impair.

Donc TOUTES les séries bimagique d'ordre 7 utilisent 4 nombres impairs + 3 nombres pairs. Cela implique que tout ensemble de 49 séries bimagiques utilisera 196 nombres impairs et 147 nombres pairs. Il est donc impossible de répartir tous les nombres (de 1 à 343) en 49 séries bimagiques.

Un cube bimagique d'ordre 7 ne peut exister.

Ordre 8

Il y a un grand nombre (1,6*10⁹) de séries bimagiques d'ordre 8 (S1=2 052, S2=701 100)

Les carrés de nombres pairs étant de la forme 4k, et les carrés de nombres impairs étant de la forme 4k+1, une somme de 8 carrés peut être de la forme 4k si et seulement si la série contient 0 ou 4 ou 8 nombres impairs.

Si la série contient 0 nombre impair, alors tous les nombres sont 4k ou 4k+2.

1. La somme S1 étant de la forme 4k, alors une telle série contient un nombre pair de nombres 4k+2.
2. La somme S2 étant de la forme 16k'+12, les carrés de nombres 4k étant de la fome 16k', les carrés de nombres 4k+2 étant de la forme 16k'+4, alors une telle série contient 3 ou 7 fois des nombres 4k+2.

1) & 2) = impossible : une série bimagique d'ordre 8 ne peut contenir 0 nombre impair.

Par le même raisonnement, mais en utilisant les nombres n-1 (de 0 à 511: S1=2 044, S2=697 004) au lieu des nombres standards n (de 1 à 512), une série bimagique d'ordre 8 ne peut contenir 0 nombre impair n-1, et donc ne peut contenir 8 nombres impairs n.

Donc TOUTES les séries bimagiques d'ordre 8 utilisent 4 nombres impairs + 4 nombres pairs.

Peut-être qu'un cube bimagique d'ordre 8 peut exister, utilisant des alignements (4i+4p).

Et peut-être que directement un cube TRImagique d'ordre 8 peut exister ! Il y a 17.218 séries trimagiques d'ordre 8. Mais un cube tétramagique d'ordre 8 ou moins ne peut exister : il n'y aucune série tétramagique de l'ordre 3 à l'ordre 8.

Retour à la page d'accueil http://www.multimagie.com