Cubes multimagiques

 John-R. Hendricks (Regina, Saskatchewan, Canada, 1929 - Victoria, BC, Canada, 2007)

Pourquoi se limiter aux 2 dimensions des carrés multimagiques ? Le Canadien John-R. Hendricks, grand spécialiste mondial des carrés magiques, a créé en juin 2000 le premier cube bimagique connu, ce cube étant du coup aussi le premier cube multimagique connu. Son remarquable cube est de taille 25x25x25, et contient tous les nombres de 1 à 15 625. La somme magique est 195 325, et la somme bimagique est 2 034 700 525. Holger Danielsson a créé un document PDF (510Kb) (en anglais) détaillant ce cube. Voir la biographie de John R. Hendricks (en anglais). Voir aussi cette autre biographie (toujours en anglais) publiée dans le Journal of Recreational Mathematics.

Toutefois, j'ai de gros doutes sur la paternité de ce cube. Dans son "The Magic Square Course", seconde édition 1992 (très faible diffusion comme la première de 1991, seulement photocopiés à quelques exemplaires), John-R. Hendricks écrivait en page 411 :
           "David M. Collison, in an unpublished paper, has constructed a bimagic cube of order 25 (....) but it takes too much space to show here."
Voir cette page 411. On peut penser avec ces termes que John avait réellement reçu le cube. Et exactement le même ordre 25, une très étrange coïncidence ! David M. Collison (1937 - 1991) était un Anglais qui vivait à Anaheim, en Californie : souvent mentionné dans "The Magic Square Course", il a envoyé beaucoup de ses découvertes directement à John, et mourut un an avant cette seconde édition. Quand John a publié le cube en 2000, il a étrangement oublié de mentionner que David avait précédemment construit un tel cube...

En 2003, de nouveaux cubes multimagiques ont été construits, ce qui donne maintenant la liste des plus petits cubes connus, pour chaque niveau de multimagie :

(*) Tous les cubes ont été créés en 2003 par Christian Boyer, sauf ce bimagique d'ordre 25 créé en 2000 par John R. Hendricks ou avant 1991 par David M. Collison.

Le cube bimagique 16 x 16 x 16 utilise les nombres de 0 à 4095. La somme magique est 32 760, et la somme bimagique est 89 445 720. Les 256 lignes, 256 colonnes, 256 piles et 4 triagonales (= les 4 grandes diagonales spatiales) sont bimagiques. Comme cela n'est pas nécessaire dans la définition d'un cube magique standard, les 96 diagonales des différents carrés constituant le cube bimagique ne sont pas bimagiques. Mais elle sont toutefois magiques. Merci à Harvey Heinz (Canada), Aale de Winkel (Pays-Bas) et Walter Trump (Allemagne) qui ont vérifié la bimagie du cube dès son annonce en janvier 2003.

Le cube trimagique 64 x 64 x 64 utilise les nombres de 0 à 262 143. Les 4096 lignes, 4096 colonnes, 4096 piles et 4 triagonales sont trimagiques. Les 384 diagonales sont bimagiques.

Un cube trimagique 256 x 256 x 256 a aussi été créé : il est "parfait", puisque l'ensemble de ses diagonales sont trimagiques. Il est monstrueux : il contient les nombres de 0 à 16 777 215, avec par exemple la somme trimagique qui vaut S 3  = 302231418874861348454400. Merci à Walter Trump (Allemagne) qui a vérifié la trimagie de ces cubes dès leur annonce en février 2003.

Eric Weisstein (USA) a aussi testé ce cube trimagique parfait d'ordre 256 en utilisant Mathematica, le 6 décembre 2003, et a confirmé ses propriétés. Le test prit 30 minutes sur un Macintosh G4 à 1GHz.

Puis des cubes tétramagiques encore plus monstrueux ont été créés, vérifiés par Renaud Lifchitz (France) et Yves Gallot (France). Voir quelques précisions sur eux deux dans la page des hypercubes.

Concernant le cube tétramagique parfait 8192, ses 67 108 864 lignes, 67 108 864 colonnes, 67 108 864 piles, 4 triagonales, et 49 152 diagonales sont toutes tétramagiques. Ses sommes magiques sont :

• S1  = 2251799813681152
• S2  = 825293359521335050119065600
• S3  = 340282366919700523424090353056775929856
• S4  = 149657767662003894090216275236580155584753888727040

En l'honneur de l'année 2003 où tous les cubes multimagiques ci-dessus ont été créés, tous ces cubes contiennent le nombre "2003" dans le premier coin !

Dans le numéro de septembre 2003 du magazine Pour La Science, j'ai publié un article sur l'histoire des cubes magiques et sur la construction des cubes multimagiques. Il y est décrit par exemple que mon cube tétramagique d'ordre 8192 est :

• Si gros que, si vous le construisez (imaginez chaque cellule comme un petit dé en bois de 2cm x 2cm x 2cm sur lequel un nombre de 12 chiffres maximum est gravé), vous pouvez inclure dans le cube... Notre-Dame de Paris !
• Si gros que, si vous testez 1000 dés (donc 1000 nombres) à la seconde, vous aurez besoin de plus de 17 ans pour tester tout le cube.
• Si gros que, si vous gravez le nom de chaque personne vivante actuellement sur terre (à la place du nombre), seulement 1% des dés seront gravés! Et 99% des dés resteront vierges.

Le cube tétramagique d'ordre 8192 peut facilement inclure Notre-Dame de Paris !

Une anecdote trouvée dans le livre Carrés Magiques au degré n, du Général Cazalas, 1934. En page 13, dans la préface rédigée par Auguste Aubry, on peut lire que Gaston Tarry préparait "un cube panmagique et trimagique qu'il n'a pas eu le temps d'achever" avant qu'il ne meure en 1913. Il n'y a hélas aucune autre trace de ces travaux !

Le Général Cazalas, pourtant si brillant pour créer son carré trimagique 64x64, a ensuite échoué dans ses tentatives de construire un cube bimagique. Il est amusant de constater qu'il s'était justement fixé, comme John-R. Hendricks et David M. Collison, sur l'ordre 25. Voici ce que le général Cazalas écrivait en 1934 dans Sphinx (pages 168-169) :
            "... mais le cube bimagique le plus simple est du domaine de la théorie, parce que l'ordre en est trop élevé : dans un cube d'ordre 25, on n'obtient encore qu'une bimagie très incomplète".
John-R. Hendricks / David M. Collison se sont donc avérés plus malins que le général Cazalas !

Cubes bimagiques parfaits d'ordre 16 et 25, par Zhong Ming

  Zhong Ming (à droite, avec son fils et sa fille en 2015)

Les cubes bimagiques vus plus haut d'ordre 16 et 25 sont bimagiques, mais pas bimagiques parfaits. Mon plus petit cube bimagique parfait était gros : d'ordre 32, construit en 2003.

En avril 2015, Zhong Ming a réussi à construire des cubes bimagiques parfaits d'ordre 16 et 25 ; ce sont les nouveaux plus petits cubes bimagiques parfaits connus ! Zhong Ming est professeur de mathématiques, à Sichuan Dazhou Daxian, Pavilion Town Center School of China.

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