Le plus petit carré magique additif-multiplicatif possible

Quel est le plus petit carré magique additif-multiplicatif (ou addition-multiplication) possible ? 5x5, 6x6, ou 7x7 : aujourd'hui personne ne sait !

Rappel : un carré magique additif-multiplicatif doit être magique quand on additionne les cellules de n'importe quel alignement (même somme S), et doit aussi être magique quand on multiplie les cellules de n'importe quel alignement (même produit P). Tous les entiers utilisés doivent être distincts. Le plus petit carré magique additif-multiplicatif est un carré 7x7 construit par Sébastien Miquel en 2016. Auparavant, les plus petits carrés connus étaient des carrés 8x8 et 9x9, construits pour la première fois par Walter Horner dans les années 50. En 2005, je construisais d'autres carrés 8x8 et 9x9 mais avec de plus petits produits magiques et de plus petites sommes magiques que les carrés de Horner.

Premiers carrés additifs-multiplicatifs connus

Ordre	Semi-magique	Magique
3	Impossible. L. Morgenstern (2007)
4	L. Morgenstern (2007)	Impossible. L. Morgenstern (2007)
5		Inconnu !
6
7	T. Shirakawa (2010)	S. Miquel (2016)
8	premier connu par W. Horner (1955), meilleurs connus par C. Boyer (2005)
9	premier connu par W. Horner (1952), meilleurs connus par C. Boyer (2005)
≥ 10	Voir cette page et sa table

Carrés magiques add-mult 3x3 ?

Les carrés semi-magiques et magiques sont impossibles. Voici la démonstration donnée par Lee Morgenstern.

Carrés magiques add-mult 4x4 ?

Les carrés semi-magiques add-mult 4x4 sont possibles. Lee Morgenstern a trouvé 54 exemples semi-magiques avec un Nb max < 256, les meilleurs possibles étant :

2007: carré semi-magique
add-mult 4x4,
Plus petit Nb max = 110,
S = 325, P = 39 916 800,
par L. Morgenstern

110	72	63	80
64	105	66	90
81	88	100	56
70	60	96	99




2007: carré semi-magique add-mult 4x4, Nb max = 156,
Plus petit S = 247,
Plus petit P = 3 369 600,
par L. Morgenstern

156	18	48	25
30	144	60	13
16	20	130	81
45	65	9	128

Mais les carrés magiques add-mult 4x4 sont impossibles, comme prouvé ci-dessous par Lee.

Carrés magiques add-mult 5x5 ?

On ne sait pas si les carrés magiques add-mult 5x5 sont possibles. Mais les carrés semi-magiques add-mult 5x5 sont possibles. Lee Morgenstern a trouvé 20 exemples semi-magiques avec un Nb max < 276. Voici le carré ayant le plus petit Nb max possible :

2007: carré semi-magique add-mult 5x5,
Plus petit Nb max = 182, S = 476,
P = 3 424 861 440,
par L. Morgenstern

60	66	132	182	36
33	112	52	99	180
72	110	176	27	91
168	26	81	80	121
143	162	35	88	48

Cet autre carré a une très intéressante propriété supplémentaire : c'est aussi un carré additif panmagique, les sommes de toutes les diagonales brisées donnant encore le même S.

2007: carré semi-magique add-mult 5x5,
et carré additif panmagique,
Nb max = 190, S = 520,
P = 8 216 208 000,
par L. Morgenstern

95	176	108	91	50
144	57	65	100	154
70	78	190	110	72
156	125	77	48	114
55	84	80	171	130

Voici le carré ayant le plus petit S :

2007: carré semi-magique add-mult 5x5,
Nb max = 208, Plus petit S = 444,
P = 926 640 000,
par L. Morgenstern

208	20	110	25	81
11	195	80	108	50
75	30	180	16	143
60	144	65	165	10
90	55	9	130	160

Mais son tout meilleur carré est cet autre. Meilleur qu'un carré semi-magique add-mult, puisqu'il a en plus une diagonale magique additive-multiplicative (et toujours 5 lignes magiques add-mult, et 5 colonnes magiques add-mult). Très proche d'un carré magique add-mult 5x5 !

2007: carré presque magique add-mult 5x5, Nb max = 220, S = 570,
P = 6 810 804 000,
seulement une diagonale non magique add-mult, par L. Morgenstern

105	182	40	198	45
78	216	66	175	35
220	42	65	63	180
140	55	189	30	156
27	75	210	104	154

Résultats de la recherche faite par Lee Morgenstern en 2007 : il n'y a pas d'exemple magique avec un Nb max < 276.
Et résultats de ma propre recherche de février 2009 : il n'y a pas d'exemple magique avec un Nb max < 1000 et P < 10^9 * cellule centrale.

En avril 2010, Jérôme Crétaux, célèbre pour avoir craqué en 2005 la puce de la carte française d'assurance-maladie (la carte "Vitale", voir par exemple http://ec.europa.eu/idabc/servlets/Doc?id=22448 en anglais ou www.internetactu.net/2005/09/09/yaura-t-il-un-scandale-sesam-vitale en français), nominé pour les Big Brother Awards France 2005 (http://bigbrotherawards.eu.org/article550.html), a trouvé un carré semi-magique add-mult avec (Nb max, S, P) = (253, 674, 26854027200). Ce même carré avait été trouvé précédemment par Lee Morgenstern, parmi ses 20 exemples avec Nb max < 276, non complètement donnés ici. Est-ce que Jérôme craquera aussi l'énigme #6?

En janvier 2010, Javier Cilleruelo, Universidad Autonoma de Madrid, et Florian Luca, Universidad Nacional Autonoma de Mexico, ont publié un article intitulé "On multiplicative magic squares" dans The Electronics Journal of Combinatorics (www.combinatorics.org) dans lequels ils donnent une borne inférieure de la différence entre l'élément maximal et l'élément minimal dans un carré magique multiplicatif de dimension r composé d'entiers positifs distincts. Après leur preuve qu'un carré magique add-mult 4x4 ne peut pas exister, ils proposent : "Problem 2. Are there additive-multiplicative magic squares of order r = 5 with distinct entries?" C'est donc le même problème que le nôtre ici ! Voir leur intéressant article : www.combinatorics.org/Volume_17/PDF/v17i1n8.pdf

En décembre 2016, Keith F. Lynch, USA, a trouvé plus d'un millier de carrés semi-magiques add-mult 5x5 avec P < 2x10^12 (et quelques autres contraintes), mais aucun d'eux n'a deux diagonales magiques add-mult. Décevant, il n'a pas non plus trouvé de nouvel exemple ayant une diagonale magique add-mult. Avant ce travail de Lynch, le carré de Morgenstern donné plus haut avec P = 926640000 était considéré comme le carré ayant le plus petit produit magique possible. Mais parce que Lee avait seulement cherché des carrés avec Nb max < 276, il n'avait pas trouvé le carré ci-dessous de Keith. Voici le carré semi-magique ayant le plus petit P :

Déc. 2016 : carré semi-magique add-mult 5x5, et carré additif panmagique,
Nb max = 308, S = 465,
Plus petit P = 404 490 240,
par Keith F. Lynch

4	57	72	220	112
64	308	20	54	19
70	16	11	152	216
99	60	266	32	8
228	24	96	7	110

Parmi son millier de carrés semi-magiques, Keith a trouvé un seul carré utilisant 1, et un seul carré utilisant seulement des entiers impairs. Voici ces rares carrés :

Déc. 2016 : d'autres carrés semi-magiques add-mult 5x5, par Keith F. Lynch.
A gauche, utilisant 1. Nb max = 918, S = 1162, P = 3664362240.
A droite, avec seulement des entiers impairs. Nb max = 1053, S = 1925, P = 1043117200125.

1	84	288	330	459		29	245	351	585	715
99	918	9	56	80		273	195	45	957	455
204	18	770	162	8		375	377	1001	91	81
378	120	68	2	594		429	1053	203	175	65
480	22	27	612	21		819	55	325	117	609

En analysant les deux carrés semi-magiques add-mult (donnés plus haut, de Lee et Keith) qui sont aussi des carrés panmagiques additifs, j'observe que ce sont des carrés gréco-latins. On peut les obtenir avec :

• (A, B, C, D, E) = (k, 76+k, 30+k, -23+k, -30+k) et (a, b, c, d, e) = (95-k, 100-k, 78-k, 114-k, 80-k) pour le carré de Morgenstern
• (A, B, C, D, E) = (k, 3+k, 56+k, 212+k, 16+k) et (a, b, c, d, e) = (4-k, 54-k, 16-k, 8-k, 96-k) pour le carré de Lynch
   

Fév. 2017: carré gréco-latin construisant les carrés additifs panmagiques et carrés multiplicatifs semi-magiques de Morgenstern et Lynch,
S = (A+B+C+D+E) + (a+b+c+d+e), par C. Boyer

A+a

B+b

C+c

D+d

E+e

0+95

76+100

30+78

-23+114

-30+80

0+4

3+54

56+16

212+8

16+96

C+d

D+e

E+a

A+b

B+c

30+114

-23+80

-30+95

0+100

76+78

56+8

212+96

16+4

0+54

3+16

E+b

A+c

B+d

C+e

D+a

-30+100

0+78

76+114

30+80

-23+95

16+54

0+16

3+8

56+96

212+4

B+e

C+a

D+b

E+c

A+d

76+80

30+95

-23+100

-30+78

0+114

3+96

56+4

212+54

16+16

0+8

D+c

E+d

A+e

B+a

C+b

-23+78

-30+114

0+80

76+95

30+100

212+16

16+8

0+96

3+4

56+54

Parmi le millier de carrés semi-magiques add-mult de Keith, j'ai réussi à bouger les cellules de 63 d'entre eux afin d'y ajouter la propriété panmagique additive. TOUS ces 63 carrés ont une structure gréco-latine additive. Mais aucun n'a de diagonale multiplicativement magique.

• Télécharger les 63 carrés semi-magiques add-mult d'ordre 5 qui sont aussi des carrés gréco-latins additifs, avec leurs paramètres (A, B, C, D, E) et (a, b, c, d, e),
  (fichier Excel, 107Ko), de Keith Lynch et Christian Boyer, où le carré #1 est le carré de Lynch donné plus haut, et le carré #8 est le carré de Lee donné plus haut.

Puisque de tels carrés gréco-latins ont toujours dix (et pas seulement deux) diagonales additivement magiques, on a dix possibilités (et pas seulement deux) que quelques-unes de leurs diagonales soient aussi magiques multiplicativement. Bien sûr, pas facile que les lignes et colonnes soient aussi magiques multiplicativement... Mais c'est peut-être une méthode permettant un carré magique add-mult 5x5 avec de bons (A, B, C, D, E) et (a, b, c, d, e) ?

Qui sera le premier à construire un carré magique add-mult 5x5 ? Ou à prouver que c'est impossible ?

Carrés magiques add-mult 6x6 ?

En 2005, j'ai construit un carré magique multiplicatif 6x6 avec des propriétés add-mult partielles : ses 6 lignes sont additives-multiplicatives. En 2007, Lee Morgenstern a construit les premier carrés semi-magiques add-mult 6x6 connus. Voici ses meilleurs exemples semi-magiques. Le premier carré a en plus une diagonale magique additive. Et le second carré a une diagonale magique additive et une diagonale magic multiplicative.

2007: carré semi-magique add-mult 6x6,
Plus petit Nb max = 105,
S = 316, P = 7 264 857 600,
par L. Morgenstern

105	32	42	78	44	15
36	49	60	12	104	55
16	99	84	35	30	52
65	48	11	40	54	98
28	75	39	88	14	72
66	13	80	63	70	24

2007: carré semi-magique add-mult 6x6,
Nb max = 135, Plus petit S = 289,
P = 1 596 672 000,
par L. Morgenstern

24	88	18	120	25	14
135	28	64	22	30	10
8	75	45	16	112	33
35	4	80	90	44	36
32	54	77	20	6	100
55	40	5	21	72	96

2007: carré semi-magique add-mult 6x6,
Nb max = 200, S = 327,
Plus petit P (connu) = 508 032 000,
par L. Morgenstern

200	42	24	30	28	3
16	160	6	63	75	7
70	10	144	2	56	45
9	21	5	140	32	120
14	4	50	12	135	112
18	90	98	80	1	40

Intéressante observation sur le précédent carré : il utilise les premiers entiers consécutifs 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Pas complètement sûr que ce carré a le plus petit P possible, mais il a le plus petit P connu.

On ne sait pas si des carrés magiques add-mult 6x6 sont possibles. Le second carré ci-dessus (Plus petit S = 289) a 13 sommes correctes sur 14, et 13 produits corrects sur 14 : total 26 sur 28, pas carré magique additif, et pas carré magique multiplicatif. Voici un carré avec 14 sommes correctes sur 14, et 12 produits corrects sur 14 : toujours 26 sur 28, toujours pas carré magique multiplicatif, mais ce coup-ci carré magique additif !

2008: carré semi-magique add-mult 6x6,
et carré magique additif,
Nb max = 156, S = 360, P = 8 491 392 000,
par L. Morgenstern

27	25	156	48	84	20
75	144	18	56	52	15
24	12	45	117	50	112
16	65	21	30	108	120
140	72	40	9	60	39
78	42	80	100	6	54

Résultats de la recherche faite par Lee Morgenstern en 2007 : il n'y a pas d'exemple magique avec un Nb max < 136.

Qui sera le premier à construire un carré magique add-mult 6x6 ? Ou à prouver que c'est impossible ?

Carrés magiques add-mult 7x7 ?

En 2005, j'ai construit un carré magique multiplicatif 7x7 avec des propriétés add-mult partielles : ses 7 lignes sont additives-multiplicatives.

Résultats de la recherche faite par Lee Morgenstern en 2007 : il n'y a pas d'exemple semi-magique avec un Nb max < 91.

Qui sera le premier à construire un carré semi-magique add-mult 7x7 ?

En avril-mai 2010, Toshihiro Shirakawa a construit les premiers carrés semi-magiques add-mult 7x7 connus, ses deux meilleurs carrés étant :

Meilleurs carrés semi-magiques add-mult 7x7 connus, et carrés magiques additifs, par Toshihiro Shirakawa.
Avril 2010, à gauche : Plus petit Nb max (connu) = 126, Plus petit S (connu) = 306, P = 21794572800
Mai 2010, à droite : Nb max = 168, S = 310, Plus petit P (connu) = 14529715200

36	70	91	3	22	24	60		7	9	32	110	14	78	60
105	12	14	44	45	8	78		96	65	35	63	2	16	33
5	21	16	54	112	65	33		52	98	15	3	88	30	24
26	110	9	40	7	42	72		22	20	168	26	45	21	8
88	39	20	98	27	30	4		10	4	36	40	39	132	49
28	48	66	15	13	126	10		105	66	13	12	80	28	6
18	6	90	52	80	11	49		18	48	11	56	42	5	130

Les diagonales sont magiques additives, mais pas magiques multiplicatives. Quelques mois plus tard, il a trouvé ce meilleur carré, cette fois une diagonale est add-mult magique, l'autre est mult magique (toutefois l'autre diagonale peut être add magique, en réarrangeant les cellules avec 108 + 78 + 39 + 20 + 54 + 63 + 18, mais alors elle n'est plus mult magique):

Octobre 2010 : carré quasi-magique add-mult 7x7,
NbMax = 154, S = 380, P = 87178291200,
par Toshihiro Shirakawa

30	21	4	104	110	63	48
98	6	50	132	24	52	18
3	128	39	45	60	28	77
32	90	154	14	54	10	26
65	22	27	20	112	8	126
108	35	64	56	13	99	5
44	78	42	9	7	120	80

Qui sera le premier à construire un carré magique add-mult 7x7 ? Ou à prouver que c'est impossible ?

15 août 2016 : Sébastien Miquel, France, est le premier à résoudre mon énigme #6b. Il avait précédemment résolu l'énigme #4c aussi sur carrés 7x7. Sébastien est maintenant en doctorat à l'Université Paris-Sud, travaillant en mathématiques sur les groupes de Lie. Il a utilisé sa propre application écrite en Rust, tournant sur son ordinateur personnel basé sur un processeur i7-920. Il a choisi quelques produits magiques heuristiquements "bons" (ici 150885504000 = 2^10 * 3^7 * 5^3 * 7^2 * 11), avant de chercher des carrés avec sommes magiques sélectionnées. Pour ce produit, sa recherche d'un carré magique avec somme 465 a pris ~600h de calcul. D'autres solutions peuvent exister avec des plus petits produits et/ou des plus petites sommes.

Août 2016 : carré magique add-mult 7x7,
NbMax = 252, S = 465, P = 150885504000,
par Sébastien Miquel

126	66	50	90	48	1	84
20	70	16	54	189	110	6
100	2	22	98	36	72	135
96	60	81	4	10	49	165
3	63	30	176	120	45	28
99	180	14	25	7	108	32
21	24	252	18	55	80	15

Ce 7x7 est le PLUS PETIT carré magique add-mult connu : 5x5 et 6x6 encore inconnus! (énigmes #6, #6a)

Carrés magiques add-mult 8x8 et 9x9 ?

Des exemples sont connus. Voir cette autre page.

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