MULTIMAGIE.COM - Carrés magiques de carrés

Carrés magiques de carrés
Voir aussi la page des carrés magiques 4x4 à 7x7 de carrés
Voir aussi la page des dernières recherches sur le carré magique 3x3 de carrés
Voir aussi la page des carrés magiques de cubes

Début traduit en français de l'article “Some notes on the magic squares of squares problem” publié en anglais dans , Springer, New-York
Supplément de l'article, et premiers carrés magiques 6x6 et 7x7 de carrés construits après l'article et après le supplément
Problèmes ouverts de l'article (vos solutions ou résultats partiels sont bienvenus, j'offre un prix de 100€ + une bouteille de champagne !)
Conférence présentant les points principaux de l'article (à télécharger pour voir un résumé facile à comprendre de l'article, son supplément, et ses problèmes ouverts)
Liste des figures de l'article et de son supplément
Références de l'article, disponibles dans ce site ou sur Internet
et Merci à...

Début traduit en français de l'article
“Some notes on the magic squares of squares problem”
de Christian Boyer, et publié dans The Mathematical Intelligencer (Vol 27, N 2, Spring 2005, pages 52-64)

“Permettez-moi, Monsieur, que je vous parle encore d'un problème
qui me paraît fort curieux et digne de toute attention”
Leonhard Euler, 1770, envoyant en français son carré magique 4×4 de carrés à Joseph Lagrange

Est-ce qu'un carré magique 3x3 peut être construit avec neuf nombres carrés distincts ? Cette courte question posée par Martin LaBar^[38] en 1984 est devenue célèbre quand Martin Gardner l'a republiée en 1996^{[25] [26]} et a offert 100$ à la première personne qui construirait un tel carré. Deux ans plus tard, Gardner écrivait^[28]:

Jusqu'à maintenant personne n'a fourni de “carré de carrés” – mais personne n'a non plus prouvé son impossibilité. S'il existe, ses nombres sont énormes, peut-être hors de portée des ordinateurs actuels les plus puissants.

Aujourd'hui ce problème n'est toujours pas résolu. Plusieurs autres articles ont été publiés dans diverses revues^{[10]
[11] [12] [27] [29] [30] [49] [51] [52]}. John P. Robertson^[51] a montré que le problème est équivalent à d'autres problèmes mathématiques sur les progressions arithmétiques, sur les triangles rectangles de Pythagore, sur les nombres congruents et les courbes elliptiques y² = x³ – n²x. Lee Sallows^[52] a discuté du sujet dans The Mathematical Intelligencer présentant le beau carré (LS1), une solution très proche avec seulement une mauvaise somme.

LS1. Trois lignes, trois colonnes et une diagonale ont la même somme magique S2=21609.
Mais hélas l'autre diagonale a une somme différente S2=38307:

127²	46²	58²
2²	113²	94²
74²	82²	97²

Dans cet article, j'ajoute à la fois des vieux travaux européens oubliés des XVIIIème et XIXème siècles que je suis fier de ressusciter (et de compléter numériquement pour la première fois^[9]) après des années d'oubli, et des développements très récents de ces derniers mois sur le problème - et plus généralement sur les carrés, cubes et hypercubes multimagiques. Et j'ai mis en avant 10 sujets ouverts restant à résoudre. Une invitation pour les amoureux des nombres !

Le problème des carrés magiques de carrés est une part importante du problème non résolu D15 du livre Unsolved Problems in Number Theory de Richard K. Guy^[30], troisième édition, 2004, résumant les principaux articles publiés sur le sujet depuis 1984. J'ai organisé mon article autour de neuf citations du texte de Richard Guy.

…Pour la suite, lire l'article complet dans The Mathematical Intelligencer
ou lire son résumé dans la présentation utilisée pour la conférence

Supplément de l'article

Un supplément référencé^[9] (mais non publié) de l'article du M.I. est disponible en anglais sur ce site, incluant quatre nouveaux carrés magiques (CB15) à (CB18), une analyse numérique des carrés de carrés 4x4 d'Euler et 3x3 de Lucas, et quelques résultats sur le problème des carrés magiques de nombres premiers au carré. Deux formats sont disponibles :

Voir le supplément en anglais au format HTML
Télécharger le supplément en anglais au format PDF (31Ko, 4 pages)

Plusieurs carrés magiques 4x4 et 5x5 de carrés sont publiés dans l'article du M.I.. Les premiers carrés magiques 6x6 et 7x7 ont hélas été construits plus tard, après l'article et après le supplément ci-dessus. Ils sont disponibles ici :

Voir les premiers carrés magiques 6x6 et 7x7 de carrés

Problèmes ouverts de l'article

Chaque carré multimagique (bimagique, trimagique,…) est un “carré magique de carrés” quand ses nombres sont élevés au carré. Mais un “carré magique de carrés” est rarement un carré multimagique car il n'est probablement pas magique quand ses nombres ne sont pas élevés au carré. Cette remarque n'implique pas que les problèmes de carrés magiques de carrés sont plus faciles que les problèmes multimagiques…

**Premiers créateurs** de carrés magiques de carrés et carrés bimagiques,
et problèmes ouverts restants
Ordre	Carrés magiques de carrés	Carrés bimagiques utilisant des entiers distincts	Carrés bimagiques normaux (utilisant des entiers consécutifs)
3x3	Qui ? Ou preuve de son impossibilité ? Problème ouvert 1, ou sous-problème ouvert 2. Voir l'état actuel des recherches ici.	Impossible. E. Lucas (1891)
4x4	L. Euler (1770) Voir LE2 dans l'article du M.I.	Impossible. L. Pebody (2004) / J.-C. Rosa (2004)	Impossible. E. Lucas (1891)
5x5	C. Boyer (2004) Voir CB4 dans l'article du M.I.	Qui ? Ou preuve de son impossibilité ? Problème ouvert 3. Voir l'état actuel des recherches ici.	Impossible. C. Boyer - W. Trump (2002)
6x6	C. Boyer (2005) Voir ici, construit après l'article.	J. Wroblewski (2006) Voir ici, construit après l'article.
7x7	C. Boyer (2005) Voir ici, construit après l'article.	L. Morgenstern (2006) Voir ici, construit après l'article.
8x8 et +	G. Pfeffermann (8x8 en 1890, 9x9 en 1891). Premiers carrés bimagiques, utilisant des entiers consécutifs. D'autres ordres variés sont connus (10x10, 11x11, 12x12, 13x13,...)

Dans l'article, 10 problèmes ouverts attendent vos réponses, dont mon problème 2 : pour sa solution, j'offre un prix de 100€ + une bouteille de champagne !!!

Voir les 10 problèmes dans la page des problèmes multimagiques non résolus.

Si vous obtenez des solutions ou des résultats partiels à l'un de ces problèmes, envoyez-moi un message. Vos résultats seront ajoutés ici.

Conférence présentant les points principaux de l'article

Si vous voulez voir un résumé de l'article, cette partie est pour vous !

Organisées par l'Université de Picardie, l'ESIEE Amiens, l'URISP-CNISF, et l'ADCS en mars-avril 2005, plusieurs conférences scientifiques ont eu lieu à Amiens pour marquer le 100ème anniversaire de la mort de Jules Verne.

Jules Verne (Nantes 1828 - Amiens 1905), Edouard Lucas (Amiens 1842 - Paris 1891)

Pendant cet événement, j'ai donné une conférence intitulée “Recours à l'informatique sur un problème d'Euler et de Lucas” :

Transparents 1-3 : Jules Verne et Edouard Lucas étaient contemporains, et vécurent plusieurs années à Amiens
Transparents 4-13 : résumé des articles précédemment publiés sur le problème des “carrés magiques de carrés”
Transparents 14-27 : résumé de mes propres études sur le problème (article M.I., recherche^[8], supplément^[9], travaux d'Euler et de Lucas, ...)
Transparents 28-30 : problèmes ouverts et conclusion

C. Boyer pendant la conférence, transparent 8.
Photo par Marc Lecoester, Président de l'URISP. Cliquer sur l'image pour l'agrandir (fichier JPG de 1,2Mo).

Vous pouvez télécharger la présentation utilisée pour cette conférence :

Télécharger le fichier PowerPoint 2003 en version originale française (30 transparents, 2,3Mo)
Télécharger le fichier PowerPoint 2003 en version anglaise (30 transparents, 2,3Mo)

Si vous n'avez pas le produit PowerPoint 2003, il y a une visionneuse gratuite téléchargeable depuis le site Microsoft qui vous permettra de voir cette présentation. Allez sur Google ou Yahoo!, et tapez “PowerPoint Viewer 2003” : vous obtiendrez immédiatement le lien Microsoft pour télécharger cet outil. Ne pas utiliser PowerPoint Viewer 97, les séquences seraient incorrectement affichées.

Félicitations et remerciements à Yves Roussel pour l'organisation de la série de conférences commémorant le centenaire de Jules Verne.

Liste des figures de l'article et de son supplément

Introduction

LS1 (et conférence transparents 6 et 21). Exemple d'un carré 3×3 avec sept sommes magiques, de Lee Sallows

Partie 1

EL1 (et conférence transparent 20, et supplément). Famille de Lucas de carrés semi-magiques 3×3 de carrés

EL2 (et conférence transparent 20). L'exemple d'un carré semi-magique 3×3 de carrés par Edouard Lucas en 1876

1²	68²	44²
76²	16²	23²
28²	41²	64²

LE1 (et conférence transparent 25). Le plus petit exemple 3×3 publié par Leonhard Euler en 1770

LE1cb (et conférence transparent 21). Le plus petit carré semi-magique de carrés construit à partir de LE1

Partie 2

AB1 (et conférence transparent 7). Carré magique 3×3 avec 7 entiers carrés par Andrew Bremner

373²	289²	565²
360721	425²	23²
205²	527²	222121

Partie 4

MS1, MS2, MS3. Exemples de carrés 3×3 avec sept sommes magiques par Michael Schweitzer

AB2. Carré semi-magique 3×3 de carrés par Andrew Bremner

MS4. Exemple 3×3 avec une somme magique non carrée par Michael Schweitzer

Partie 5

AB3 (et conférence transparent 12). Carré magique 4×4 de carrés par Andrew Bremner

LE2 (et conférence transparents 22 et 23). Le premier carré magique connu de carrés, envoyé en 1770 par L. Euler à J. Lagrange:

68²	29²	41²	37²
17²	31²	79²	32²
59²	28²	23²	61²
11²	77²	8²	49²

LE3 (et conférence transparents 24 et 26, et supplément). Famille d'Euler de carrés magiques 4x4 de carrés

CB1 (et conférence transparents 16 et 27). Le plus petit carré magique de carrés de la famille 4×4 d'Euler, non trouvé par Euler

48²	23²	6²	19²
21²	26²	33²	32²
1²	36²	13²	42²
22²	27²	44²	9²

CB2 (et conférence transparent 16, et supplément). Sous-famille de carrés magiques 4×4 de carrés. S2 = 85(k² + 29):

(2k + 42)²	(4k + 11)²	(8k - 18)²	(k + 16)²
(k - 24)²	(8k + 2)²	(4k + 21)²	(2k - 38)²
(4k - 11)²	(2k - 42)²	(k - 16)²	(8k + 18)²
(8k - 2)²	(k + 24)²	(2k + 38)²	(4k - 21)²

CB3. Un petit jeu : trouverez-vous rapidement l'erreur de ce membre de la famille d'Euler ?

LE3cb. Transition des carrés 4x4 d'Euler aux carrés 3×3 de Lucas

CB4 (et conférence transparent 17). Le plus petit carré magique 5×5 de carrés. S2 = 1375:

1²	2²	31²	3²	20²
22²	16²	13²	5²	21²
11²	23²	10²	24²	7²
12²	15²	9²	27²	14²
25²	19²	8²	6²	17²

CB5. Le second plus petit carré magique 5×5 de carrés

Carrés bimagiques

CB6. Un éventuel carré semi-bimagique 3×3

CB7. Le plus petit carré semi-bimagique 4×4 sans diagonale magique

CB8. Le plus petit carré semi-bimagique 4×4 avec une diagonale magique

CB9. Le plus petit carré semi-bimagique 5×5 avec deux diagonales magiques

GP1. Un carré semi-bimagique 6x6 avec deux diagonales magiques, par G. Pfeffermann en 1894

RVI 1. Une famille de carrés semi-bimagiques 6x6 avec deux diagonales magiques, par R. Venkatachalam Iyer en 1961

Partie 6

CB10 (et conférence transparent 19). Un carré magique 4×4 de cubes. S3 = 0

CB11 (et conférence transparent 19). Un carré magique 5×5 de cubes. S3 = 0

CB12. Le plus petit carré semi-bimagique 5×5 de cubes utilisant des entiers positifs

Partie 7

WT1. Le premier carré trimagique 12×12, par Walter Trump en 2002

Partie 8

PF1. Le cube magique presque parfait 4×4×4 , envoyé en 1640 par Pierre de Fermat à Mersenne

WT2CB13. Le premier cube magique parfait 5×5×5, par Walter Trump et Christian Boyer en 2003

CB14. Le cube tétramagique parfait 8192×8192×8192 comparé à la cathédrale Notre-Dame de Paris

Supplément

CB15. Une autre sous-famille de carrés magiques 4×4 de carrés

CB16. Le plus petit carré semi-bimagique 4×4 de nombres premiers

CB17 (et conférence transparent 18). Le plus petit carré magique 4×4 de carrés de nombres premiers

CB18 (et conférence transparent 18). Le plus petit carré magique 5×5 de carrés de nombres premiers

Références de l'article
disponibles dans ce site ou sur Internet

[4] Christian Boyer, Les premiers carrés tétra et pentamagiques, Pour La Science (l'édition française de Scientific American), N°286 Août 2001, 98-102
Télécharger le fichier PDF (168Ko)
(voir aussi www.multimagie.com/Francais/Tetra-penta.htm)

[5] Christian Boyer, Les cubes magiques, Pour La Science (l'édition française de Scientific American), N°311 Septembre 2003, 90-95
(voir aussi www.multimagie.com/Francais/Cube.htm#PLS )

[6] Christian Boyer, Le plus petit cube magique parfait, La Recherche, N°373 Mars 2004, 48-50
Télécharger le fichier PDF (955Ko)
(voir aussi www.multimagie.com/Francais/Perfectcubes.htm)

[7] Christian Boyer, Site des carrés multimagiques, cubes et hypercubes,
www.multimagie.com

[8] Christian Boyer, A search for 3x3 magic squares having more than six square integers among their nine distinct integers, preprint, Septembre 2004
Télécharger le fichier PDF (60Ko)
(voir aussi transparent 15 de la conférence)

[9] Christian Boyer, Supplement to the “Some notes on the magic squares of squares problem” article, 2005
Télécharger le fichier PDF (31Ko)
ou www.multimagie.com/English/Supplement.htm
(voir aussi transparent 18 de la conférence)

[10] Andrew Bremner, On squares of squares, Acta Arithmetica, 88(1999) 289-297
Télécharger le fichier PDF (99Ko)
(voir aussi transparent 7 de la conférence)

[11] Andrew Bremner, On squares of squares II, Acta Arithmetica, 99(2001) 289-308
Télécharger le fichier PDF (172Ko)
(voir aussi transparents 11-12 de la conférence)

[12] Duncan A. Buell, A search for a magic hourglass, preprint, 1999
Télécharger le fichier PDF (101Ko)
(voir aussi transparent 10 de la conférence)

[42] Edouard Lucas, Sur le carré de 3 et sur les carrés à deux degrés, Les Tablettes du Chercheur, 1er mars 1891, p.7 (reimprimé dans [44] et dans
www.multimagie.com/Francais/Lucas.htm)

[49] Landon W. Rabern, Properties of magic squares of squares, Rose-Hulman Institute of Technology Undergraduate Math Journal, 4(2003), N.1
~~www.rose-hulman.edu/mathjournal/v4n1.php~~ (maintenant https://scholar.rose-hulman.edu/rhumj/vol4/iss1/3/)

[50] Carlos Rivera, www.primepuzzles.net
www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_079.htm (Puzzle 79 « The Chebrakov’s Challenge »)
www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_287.htm (Puzzle 287 « Multimagic prime squares »)
www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_288.htm (Puzzle 288 « Magic square of (prime) squares »)
(sur le Puzzle 288, voir aussi transparent 17 de la conférence, et partie 3 du supplément)

[52] Lee Sallows, The lost theorem, The Mathematical Intelligencer, 19(1997), n°4, 51-54
Télécharger le fichier PDF (76Ko)
(voir aussi transparents 6-7 de la conférence)

[54] Richard Schroeppel, The center cell of a magic 5³ is 63, (1976),
www.multimagie.com/English/Schroeppel63.htm

[57] Neil Sloane, Multimagic sequences A052457, A052458, A090037, A090653, A092312, ATT Research’s Online Encyclopaedia of Integer Sequences,
~~www.research.att.com/~njas/sequences/~~ (maintenant http://oeis.org)
(voir aussi www.multimagie.com/Francais/Series.htm)

[58] Paul Tannery et Charles Henry, Lettre XXXVIIIb bis, Fermat à Mersenne, Toulouse, 1 avril 1640, Œuvres de Fermat, Gauthier-Villars, Paris, 2(1894), 186-194
(extraits à www.multimagie.com/Francais/Fermat.htm)

[60] Walter Trump, Histoire du plus petit carré trimagique, Janvier 2003,
www.multimagie.com/Francais/Tri12Story.htm
(voir aussi www.multimagie.com/Francais/Trimagic12.htm
et www.multimagie.com/Francais/Smallesttri.htm)

[62] Eric Weisstein, Magic figures, MathWorld,
http://mathworld.wolfram.com/topics/MagicFigures.html

[63] Eric Weisstein, Perfect magic cube, MathWorld,
http://mathworld.wolfram.com/PerfectMagicCube.html

Merci à :

Andrew Bremner, Arizona State University, Duncan Buell, University of South Carolina, et Lee Sallows, University of Nijmegen, pour leurs réactions positives et leurs remarques suite à leur lecture des premières versions de l'article. Leur excellents articles précédents sur le sujet sont téléchargeables depuis multimagie.com: [10], [11], [12], [52].
Chandler Davis, University of Toronto, et Rédacteur en Chef de The Mathematical Intelligencer, pour sa lecture très attentive et pour son accord de publication de l'article dans son magazine.
Susan Hannan, Etats-Unis, pour sa relecture amicale et très attentive de mon anglais !

Christian Boyer.

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