Carrés magiques de carrés
Voir aussi la page des carrés magiques 4x4 à 7x7 de carrés
Voir aussi la page des dernières recherches sur le carré magique 3x3 de carrés
Voir aussi la page des carrés magiques de cubes



Début traduit en français de l'article
Some notes on the magic squares of squares problem
de Christian Boyer, et publié dans The Mathematical Intelligencer (Vol 27, N 2, Spring 2005, pages 52-64)


Permettez-moi, Monsieur, que je vous parle encore d'un problème
qui me paraît fort curieux et digne de toute attention

Leonhard Euler, 1770, envoyant en français son carré magique 4×4 de carrés à Joseph Lagrange

Est-ce qu'un carré magique 3x3 peut être construit avec neuf nombres carrés distincts ? Cette courte question posée par Martin LaBar[38] en 1984 est devenue célèbre quand Martin Gardner l'a republiée en 1996[25] [26] et a offert 100$ à la première personne qui construirait un tel carré. Deux ans plus tard, Gardner écrivait[28]:

Aujourd'hui ce problème n'est toujours pas résolu. Plusieurs autres articles ont été publiés dans diverses revues[10] [11] [12] [27] [29] [30] [49] [51] [52]. John P. Robertson[51] a montré que le problème est équivalent à d'autres problèmes mathématiques sur les progressions arithmétiques, sur les triangles rectangles de Pythagore, sur les nombres congruents et les courbes elliptiques y2 = x3 – n2x. Lee Sallows[52] a discuté du sujet dans The Mathematical Intelligencer présentant le beau carré (LS1), une solution très proche avec seulement une mauvaise somme.

127²

46²

58²

113²

94²

74²

82²

97²

Dans cet article, j'ajoute à la fois des vieux travaux européens oubliés des XVIIIème et XIXème siècles que je suis fier de ressusciter (et de compléter numériquement pour la première fois[9]) après des années d'oubli, et des développements très récents de ces derniers mois sur le problème - et plus généralement sur les carrés, cubes et hypercubes multimagiques. Et j'ai mis en avant 10 sujets ouverts restant à résoudre. Une invitation pour les amoureux des nombres !

Le problème des carrés magiques de carrés est une part importante du problème non résolu D15 du livre Unsolved Problems in Number Theory de Richard K. Guy[30], troisième édition, 2004, résumant les principaux articles publiés sur le sujet depuis 1984. J'ai organisé mon article autour de neuf citations du texte de Richard Guy.

…Pour la suite, lire l'article complet dans The Mathematical Intelligencer
ou lire son résumé dans la présentation utilisée pour la conférence


Supplément de l'article

Un supplément référencé[9] (mais non publié) de l'article du M.I. est disponible en anglais sur ce site, incluant quatre nouveaux carrés magiques (CB15) à (CB18), une analyse numérique des carrés de carrés 4x4 d'Euler et 3x3 de Lucas, et quelques résultats sur le problème des carrés magiques de nombres premiers au carré. Deux formats sont disponibles :

Plusieurs carrés magiques 4x4 et 5x5 de carrés sont publiés dans l'article du M.I.. Les premiers carrés magiques 6x6 et 7x7 ont hélas été construits plus tard, après l'article et après le supplément ci-dessus. Ils sont disponibles ici :


Problèmes ouverts de l'article

Chaque carré multimagique (bimagique, trimagique,) est un “carré magique de carrés” quand ses nombres sont élevés au carré. Mais un “carré magique de carrés” est rarement un carré multimagique car il n'est probablement pas magique quand ses nombres ne sont pas élevés au carré. Cette remarque n'implique pas que les problèmes de carrés magiques de carrés sont plus faciles que les problèmes multimagiques

Premiers créateurs de carrés magiques de carrés et carrés bimagiques,
et problèmes ouverts restants

Ordre

Carrés magiques de carrés

Carrés bimagiques
utilisant des entiers distincts

Carrés bimagiques normaux
(utilisant des entiers consécutifs)

3x3

Qui ? Ou preuve de son impossibilité ?
Problème ouvert 1, ou sous-problème ouvert 2.
Voir l'état actuel des recherches ici.

Impossible. E. Lucas (1891)

4x4

L. Euler (1770)
Voir LE2 dans l'article du M.I.

Impossible.
L. Pebody (2004) / J.-C. Rosa (2004)

Impossible.
E. Lucas (1891)

5x5

C. Boyer (2004)
Voir CB4 dans l'article du M.I.

Qui ? Ou preuve de son impossibilité ?
Problème ouvert 3.
Voir l'état actuel des recherches ici.

Impossible.
C. Boyer - W. Trump (2002)

6x6

C. Boyer (2005)
Voir ici, construit après l'article.

J. Wroblewski (2006)
Voir ici, construit après l'article.

7x7

C. Boyer (2005)
Voir ici, construit après l'article.

L. Morgenstern (2006)
Voir ici, construit après l'article.

8x8
et +

G. Pfeffermann (8x8 en 1890, 9x9 en 1891).
Premiers carrés bimagiques, utilisant des entiers consécutifs.
D'autres ordres variés sont connus (10x10, 11x11, 12x12, 13x13,...)

Dans l'article, 10 problèmes ouverts attendent vos réponses, dont mon problème 2 : pour sa solution, j'offre un prix de 100€ + une bouteille de champagne !!!

Si vous obtenez des solutions ou des résultats partiels à l'un de ces problèmes, envoyez-moi un message. Vos résultats seront ajoutés ici.


Conférence présentant les points principaux de l'article

Si vous voulez voir un résumé de l'article, cette partie est pour vous !

Organisées par l'Université de Picardie, l'ESIEE Amiens, l'URISP-CNISF, et l'ADCS en mars-avril 2005, plusieurs conférences scientifiques ont eu lieu à Amiens pour marquer le 100ème anniversaire de la mort de Jules Verne.

Jules Verne (Nantes 1828 - Amiens 1905), Edouard Lucas (Amiens 1842 - Paris 1891)

Pendant cet événement, j'ai donné une conférence intitulée Recours à l'informatique sur un problème d'Euler et de Lucas” :

C. Boyer pendant la conférence, transparent 8.
Photo par Marc Lecoester, Président de l'URISP. Cliquer sur l'image pour l'agrandir (fichier JPG de 1,2Mo).

Vous pouvez télécharger la présentation utilisée pour cette conférence :

Si vous n'avez pas le produit PowerPoint 2003, il y a une visionneuse gratuite téléchargeable depuis le site Microsoft qui vous permettra de voir cette présentation. Allez sur Google ou Yahoo!, et tapez PowerPoint Viewer 2003: vous obtiendrez immédiatement le lien Microsoft pour télécharger cet outil. Ne pas utiliser PowerPoint Viewer 97, les séquences seraient incorrectement affichées.

Félicitations et remerciements à Yves Roussel pour l'organisation de la série de conférences commémorant le centenaire de Jules Verne.


Liste des figures de l'article et de son supplément

Introduction

Partie 1

68²

44²

76²

16²

23²

28²

41²

64²

Partie 2

373²

289²

565²

360721

425²

23²

205²

527²

222121

Partie 4

Partie 5

68²

29²

41²

37²

17²

31²

79²

32²

59²

28²

23²

61²

11²

77²

49²

48²

23²

19²

21²

26²

33²

32²

36²

13²

42²

22²

27²

44²

(2k + 42)²

(4k + 11)²

(8k - 18)²

(k + 16)²

(k - 24)²

(8k + 2)²

(4k + 21)²

(2k - 38)²

(4k - 11)²

(2k - 42)²

(k - 16)²

(8k + 18)²

(8k - 2)²

(k + 24)²

(2k + 38)²

(4k - 21)²

31²

20²

22²

16²

13²

21²

11²

23²

10²

24²

12²

15²

27²

14²

25²

19²

17²

Carrés bimagiques

Partie 6

Partie 7

Partie 8

Supplément


Références de l'article
disponibles dans ce site ou sur Internet

[4] Christian Boyer, Les premiers carrés tétra et pentamagiques, Pour La Science (l'édition française de Scientific American), N°286 Août 2001, 98-102
Télécharger le fichier PDF (168Ko)
(voir aussi www.multimagie.com/Francais/Tetra-penta.htm)

[5] Christian Boyer, Les cubes magiques, Pour La Science (l'édition française de Scientific American), N°311 Septembre 2003, 90-95
(voir aussi www.multimagie.com/Francais/Cube.htm#PLS)

[6] Christian Boyer, Le plus petit cube magique parfait, La Recherche, N°373 Mars 2004, 48-50
Télécharger le fichier PDF (955Ko)
(voir aussi www.multimagie.com/Francais/Perfectcubes.htm)

[7] Christian Boyer, Site des carrés multimagiques, cubes et hypercubes,
www.multimagie.com

[8] Christian Boyer, A search for 3x3 magic squares having more than six square integers among their nine distinct integers, preprint, Septembre 2004
Télécharger le fichier PDF (60Ko)
(voir aussi transparent 15 de la conférence)

[9] Christian Boyer, Supplement to the “Some notes on the magic squares of squares problem” article, 2005
Télécharger le fichier PDF (31Ko)
ou www.multimagie.com/English/Supplement.htm
(voir aussi transparent 18 de la conférence)

[10] Andrew Bremner, On squares of squares, Acta Arithmetica, 88(1999) 289-297
Télécharger le fichier PDF (99Ko)
(voir aussi
transparent 7 de la conférence)

[11] Andrew Bremner, On squares of squares II, Acta Arithmetica, 99(2001) 289-308
Télécharger le fichier PDF (172Ko)
(voir aussi transparents 11-12 de la conférence)

[12] Duncan A. Buell, A search for a magic hourglass, preprint, 1999
Télécharger le fichier PDF (101Ko)
(voir aussi transparent 10 de la conférence)

[42] Edouard Lucas, Sur le carré de 3 et sur les carrés à deux degrés, Les Tablettes du Chercheur, 1er mars 1891, p.7 (reimprimé dans [44] et dans
www.multimagie.com/Francais/Lucas.htm)

[49] Landon W. Rabern, Properties of magic squares of squares, Rose-Hulman Institute of Technology Undergraduate Math Journal, 4(2003), N.1
www.rose-hulman.edu/mathjournal/v4n1.php

[50] Carlos Rivera, www.primepuzzles.net
www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_079.htm (Puzzle 79 « The Chebrakov’s Challenge »)
www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_287.htm (Puzzle 287 « Multimagic prime squares »)
www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_288.htm (Puzzle 288 « Magic square of (prime) squares »)
(sur le Puzzle 288, voir aussi
transparent 17 de la conférence, et partie 3 du supplément)

[52] Lee Sallows, The lost theorem, The Mathematical Intelligencer, 19(1997), n°4, 51-54
Télécharger le fichier PDF (76Ko)
(voir aussi transparents 6-7 de la conférence)

[54] Richard Schroeppel, The center cell of a magic 53 is 63, (1976),
www.multimagie.com/English/Schroeppel63.htm

[57] Neil Sloane, Multimagic sequences A052457, A052458, A090037, A090653, A092312, ATT Research’s Online Encyclopaedia of Integer Sequences,
www.research.att.com/~njas/sequences/ (maintenant http://oeis.org)
(voir aussi www.multimagie.com/Francais/Series.htm)

[58] Paul Tannery et Charles Henry, Lettre XXXVIIIb bis, Fermat à Mersenne, Toulouse, 1 avril 1640, Œuvres de Fermat, Gauthier-Villars, Paris, 2(1894), 186-194
(extraits à www.multimagie.com/Francais/Fermat.htm)

[60] Walter Trump, Histoire du plus petit carré trimagique, Janvier 2003,
www.multimagie.com/Francais/Tri12Story.htm
(voir aussi www.multimagie.com/Francais/Trimagic12.htm
et www.multimagie.com/Francais/Smallesttri.htm)

[62] Eric Weisstein, Magic figures, MathWorld,
http://mathworld.wolfram.com/topics/MagicFigures.html

[63] Eric Weisstein, Perfect magic cube, MathWorld,
http://mathworld.wolfram.com/PerfectMagicCube.html

Merci à :

  • Andrew Bremner, Arizona State University, Duncan Buell, University of South Carolina, et Lee Sallows, University of Nijmegen, pour leurs réactions positives et leurs remarques suite à leur lecture des premières versions de l'article. Leur excellents articles précédents sur le sujet sont téléchargeables depuis multimagie.com: [10], [11], [12], [52].
  • Chandler Davis, University of Toronto, et Rédacteur en Chef de The Mathematical Intelligencer, pour sa lecture très attentive et pour son accord de publication de l'article dans son magazine.
  • Susan Hannan, Etats-Unis, pour sa relecture amicale et très attentive de mon anglais !

Christian Boyer.


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