Le plus petit carré bimagique possible utilisant des entiers distincts
Voir aussi le plus petit carré bimagique possible utilisant des entiers consécutifs

Voici un des problèmes les plus intrigants sur les carrés multimagiques : quel est le plus petit carré bimagique possible utilisant des entiers distincts ? Ce problème est le Problème ouvert 3 de mon article publié dans The Mathematical Intelligencer (voir aussi le tableau).

Il est impossible de construire des carrés bimagiques plus petits que 8x8 et utilisant des entiers consécutifs. Mais si l'on laisse la possibilité d'utiliser des entiers variés mais distincts, au lieu de n'utiliser que des entiers consécutifs, alors la liberté de choisir les entiers utilisés devrait permettre de construire assez facilement des carrés bimagiques plus petits (et il n'y a aucun blocage dû aux entiers carrés, puisqu'il est possible de construire des carrés magiques de carrés plus petits que 8x8). Mais ces petits carrés bimagiques sont incroyablement difficiles à obtenir :

Plus petits carrés bimagiques : 5x5 ou 6x6 ?

Voici ci-dessous les meilleurs carrés connus utilisant des entiers distincts. Tous (sauf le second exemple 5x5) sont au moins semi-bimagiques : toutes leurs lignes et toutes leurs colonnes sont bimagiques. La difficulté est de réussir à obtenir les deux diagonales bimagiques... Si vous avez des résultats intéressants, envoyez-moi un message ! J'ajouterai avec plaisir vos résultats dans cette page.

Carré bimagique d'ordre 3 ou 4 utilisant des entiers distincts ?

Edouard Lucas a prouvé en 1891 qu'un carré bimagique d'ordre 3 utilisant des entiers distincts ne peut exister (voir ici pour plus de détails). J'ai publié une preuve très courte dans mon article du M.I. que même un carré semi-bimagique d'ordre 3 est impossible, "semi" signifiant que seulement les lignes et les colonnes sont demandées, ne tenant pas compte des diagonales.

Luke Pebody et Jean-Claude Rosa ont prouvé en 2004 qu'il est impossible de construire un carré bimagique d'ordre 4 utilisant des entiers distincts (voir ici pour plus de détails). Cela signifie qu'il est impossible de construire un carré d'ordre 4 ayant 20 sommes correctes. Mais il serait intéressant de connaître quel est le meilleur carré possible d'ordre 4. Mon meilleur résultat est le carré suivant qui a 17 sommes correctes sur 20 : donc seulement 3 mauvaises sommes. C'est le carré CB8 publié dans l'article du M.I.

Voir aussi cet autre carré d'ordre 4 : le plus petit carré semi-bimagique possible et utilisant des entiers distincts. Il a 16 sommes correctes sur 16, puisque dans ce cas seulement 20-4=16 sommes sont demandées, "semi" signifiant que les 4 sommes des 2 diagonales ne sont pas demandées.

Comme vu ci-dessus, il est impossible d'obtenir 20 sommes correctes. Mais est-il possible de construire un carré presque bimagique d'ordre 4 ayant 18 ou 19 sommes correctes ?

En août 2009, Lee Morgenstern a mathématiquement prouvé qu'un carré magique d'ordre 4 ne peut pas être semi-bimagique :

Cette preuve signifie qu'il est impossible d'avoir 18 sommes correctes arrangées de cette façon : 10 sommes correctes S1, et 8 sommes correctes S2 (4 lignes + 4 colonnes). Mais des carrés presque bimagiques d'ordre 4 avec 18 sommes correctes, utilisant un arrangement différent, sont possibles. Voici un exemple construit par Lee, aussi en août 2009 :

Ma la dernière partie de la question ci-dessus restait ouverte : est-il possible de construire un carré presque bimagique d'ordre 4 ayant 19 sommes correctes ?

En août-septembre 2011, Lee a essayé de répondre avec ces solutions paramétriques complètes, mais n'a pas trouvé d'exemple avec 19 sommes correctes :

puis a finalement prouvé en juin 2012 qu'un carré presque bimagique d'ordre 4 ayant 19 sommes correctes est impossible (fichier texte en anglais).

Carré bimagique d'ordre 5 utilisant des entiers distincts ?

Mon meilleur résultat est le carré suivant qui a 22 sommes correctes sur 24 : donc seulement 2 mauvaise sommes. C'est le carré CB9 publié dans l'article du M.I.

Les diagonales ci-dessus ne sont pas bimagiques. Si on construit des carrés magiques avec leurs quatre alignements passant par le centre qui sont bimagiques (= 2 diagonales bimagiques + ligne centrale bimagique + colonne centrale bimagique), et avec toutes leurs lignes bimagiques, alors il semble impossible d'obtenir une autre colonne bimagique ! Exemple d'un tel carré avec 20 sommes correctes sur 24, 4 mauvaises sommes:

Mon sentiment est que les carrés bimagiques d'ordre 5 n'existent pas. Si c'est vrai, qui en fournira une preuve mathématique ?

Est-il possible de construire un carré bimagique d'ordre 5 (= 24 sommes correctes) ? Ou au moins un carré presque bimagique d'ordre 5 ayant 23 sommes correctes ?

Si l'on accepte des carrés non magiques -les deux exemples ci-dessus sont magiques-, alors il est possible de construire un carré presque bimagique d'ordre 5 ayant 23 sommes correctes, comme remarqué par Lee Morgenstern en août 2006 avec cet exemple qui a seulement une diagonale non magique.

En octobre 2006, Lee Morgenstern a cherché un carré bimagique "associatif" d'ordre 5. Dans un tel carré, la somme de deux nombres symétriques autour du centre est constante, comme dans le carré CB9. Sa conclusion : il n'existe aucun carré bimagique associatif d'ordre 5 utilisant des nombres tous inférieurs à 600.000.

En juillet 2009, Lee a réussi à trouver un carré presque bimagique d'ordre 5 avec 23 sommes correctes, et cette fois son carré est magique !

On peut voir que l'entier maximum utilisé dans ce carré est 493. En août-septembre 2009, Gildas Guillemot, Ecole Nationale Supérieure d'Arts et Métiers (ENSAM), France, a calculé qu'il n'y a pas de carré bimagique 5x5 utilisant 25 entiers distincts < 500. Son programme a tourné sur un PC pendant 14 jours.

En juillet 2010, Michael Quist a trouvé un nouveau carré presque bimagique d'ordre 5 avec 23 sommes correctes, aussi carré magique, mais avec des plus petits entiers (entier maxi = 340) et de plus petites sommes magiques que le carré précédent de Lee.

En juillet 2011, essayant de trouver un exemple plus petit, Gildas Guillemot a calculé qu'il n'y a pas de carré presque bimagique 5x5 avec 23 sommes correctes ayant tous ses entiers < 300. Il a trouvé ces 5719 carrés différents ayant 22 sommes correctes : fichier texte zippé de 336Ko. Dans sa recherche, les carrés sont magiques, et les mauvaises sommes sont les diagonales quand les nombres sont élevés au carré. En janvier 2014, il a recalculé ces carrés, trouvé les mêmes résultats, et produit une liste des 5719 carrés triés par leur S1: fichier texte zippé de 329Ko.

En novembre 2014, Lee Morgenstern a annoncé qu'il n'y a aucun carré bimagique 5x5 avec des entiers distincts dans l'intervalle 1 à 1500. En utilisant sa technique de recherche de bimagique 5x5 de janvier 2014, cela a pris environ 2 mois de temps de calcul sur 4 processeurs pour atteindre ce résultat.

Mars 2018 : premier carré semi-bimagique 5x5 de nombres premiers, par Nicolas Rouanet.

Et que se passe-t-il si l'on autorise la répétition de quelques nombres ? En novembre 2007, Michael Cohen (Washington DC, USA) a soumis un article intitulé "The Order 5 General Bimagic Square" à paraître dans le Journal of Recreational Mathematics. Dans cet article maintenant publié Vol 34(2) p.107-111, 2005-2006 (mais numéro réellement sorti seconde moitié de l'année 2008), il pose cet intéressant problème :

Il donne un carré ayant 5 ensembles de nombres. Je lui ai envoyé un carré légèrement meilleur ayant 6 ensembles de nombres. Dans son carré, cet ensemble {1, 5, 9, 9, 16} utilise deux fois le même nombre 9. Dans mon autre carré, les nombres sont distincts à l'intérieur de chaque ensemble : {4, 9, 18, 26, 28}, {4, 10, 17, 24, 30}, {1, 12, 22, 24, 26}, {9, 10, 12, 20, 34}, {1, 16, 18, 20, 30}, {4, 9, 20, 22, 30}. Qui construira un carré bimagique utilisant plus de 6 ensembles de nombres (nombres distincts dans chaque ensemble) ?

En mars 2017, Frank Rubin, auteur de http://contestcen.com, n'a pas trouvé plus de 6 ensembles, mais a trouvé cet autre exemple avec 6 ensemble. Son exemple peut être obtenu à partir de mon carré lus haut, en remplaçant 1->35, 4->28, 9->47, 10->21, 12->24, 16->12, 17->29, 18->43, 20->42, 22(centre)->15, 24->54, 26->7, 28->10, 30->3, 34->1 :

Et aussi en mars 2017, juste pour le plaisir puisque inutile dans N, j'ai construit cet exemple de carré 5x5 pleinement bimagique dans Z/41Z (ou si vous préférez modulo 41) utilisant 25 entiers distincts !

Carré bimagique d'ordre 6 utilisant des entiers distincts ?

--- 1) 1894. Carré d'ordre 6 presque bimagique par G. Pfeffermann, 26 sommes correctes sur 28, deux mauvaises sommes.

--- 2) 2005. Je construisais un meilleur carré d'ordre 6, avec 27 sommes correctes sur 28, seulement une mauvaise somme :

--- 3) Est-il possible de construire un carré bimagique d'ordre 6 (= 28 sommes correctes) ? OUI !

Jaroslaw Wroblewski (Wroclaw 1962 - )
Photo prise pendant la "LIII Olimpiada Matematyczna" de Pologne, en 2002. Cliquer sur l'image pour l'agrandir.

2006, 4 février : Jaroslaw Wroblewski, de l'Université de Wroclaw, Pologne, est le premier à construire un carré bimagique d'ordre 6, 28 sommes correctes sur 28. Un résultat important : avant lui, personne n'avait réussi à construire un carré bimagique plus petit que les carrés bimagiques classiques d'ordre 8 initialement construits en 1890 !

Structuré comme la majorité des autres carrés de cette page, le carré de Wroblewski est "associatif" : la somme de deux nombres symétriques autour du centre est constante. Son carré est annoncé le plus petit possible des carrés bimagiques associatifs d'ordre 6.

Après ce carré avec (NbMax, S1, S2) = (135, 408, 36826), il a trouvé trois autres carrés bimagiques associatifs plus gros : (205, 618, 86978), (215, 648, 86684), (237, 714, 111074).

--- 4) Encore une étape possible ? Puisque Jaroslaw Wroblewski a cherché des carrés associatifs, son carré ci-dessus n'était pas sûr d'être le carré bimagique d'ordre 6 le plus petit possible. D'où la nouvelle question : est-il possible de construire un carré bimagique d'ordre 6 plus petit, avec NbMax<135, ou S1<408, ou S2<36826 ? (donc sans structure, ou avec une structure non associative)

Walter Trump a cherché des carrés bimagiques d'ordre 6 symétriques gauche/droite : aucune solution pour tout NbMax < 192.

En mai 2006, immédiatement après ses carrés bimagiques d'ordre 7, Lee Morgenstern a trouvé deux meilleurs carrés 6x6 que ceux de Wroblewski : (72, 219, 10663) et (109, 330, 26432). Il a utilisé des structures inhabituelles. Regardez son meilleur exemple ci-dessous :  dans les deux colonnes de gauche, deux cellules de la même couleur ont la même somme 73. Non colorées ici, mais exactement la même structure dans les deux colonnes centrales, et dans les deux colonnes de droite.

Lee Morgenstern a utilisé une autre structure inhabituelle dans son autre carré bimagique d'ordre 6.

Est-il possible de construire un carré bimagique d'ordre 6 plus petit, avec NbMax<72, ou S1<219, ou S2<10663 ?

En octobre 2008, Lee Morgenstern a fini sa recherche exhaustive : il n'y a aucune solution avec MaxNb<72, ce qui signifie que son carré ci-dessus ne peut pas être battu ! Mais les S1 et S2 minimum sont encore des questions ouvertes.

Et en juillet 2009, après plusieurs mois de calculs utilisant jusqu'à 9 processeurs, Lee Morgenstern a conclu que sa solution a aussi le plus petit S1 et le plus petit S2. Son carré ci-dessus est LE plus petit carré bimagique d'ordre 6 possible. La réponse à la question ce-dessus est non !

Mars 2018 : premier carré semi-bimagique d'ordre 6 de nombres premiers, par Nicolas Rouanet.

Carré bimagique d'ordre 7 utilisant des entiers distincts ?

--- 1) 2005. Mon meilleur résultat est le carré suivant qui a 31 sommes correctes sur 32 : donc seulement une mauvaise somme.

Il est intéressant de noter que ce carré est très proche d'un carré magique normal. Les 49 entiers utilisés vont de 1 à 55, ce qui signifie que seulement six entiers manquent. Ce carré n'utilise pas des entiers consécutifs, mais en est très proche !

--- 2) Est-il possible de construire un carré bimagique d'ordre 7 (= 32 sommes correctes) ? OUI !

2006, 9 mai : en compétition avec Frank Rubin, qui avait trouvé un autre carré ayant 31 sommes correctes, Lee Morgenstern a construit le premier carré bimagique connu d'ordre 7, avec donc 32 sommes correctes. Du 9 mai au 25 mai, Lee Morgenstern a trouvé un total de huit carrés ! Son meilleur, avec les plus petits nombres et sommes, est le carré ci-dessous qui a (MaxNb, S1, S2) = (67, 238, 10400). Il a des symétries inhabituelles, les carrés ou rectangles colorés étant associatifs en interne : la somme de deux nombres opposés y est constante = 68 = deux fois le nombre central du carré.

Lee Morgenstern est un mathématicien à la retraite habitant à Los Angeles, Californie, Etats-Unis. Il aime maintenant résoudre des problèmes et énigmes en passe-temps. Il a gagné quelques-uns des concours de Frank Rubin, www.contestcen.com, et a résolu quelques-uns des problèmes les plus difficiles de Robin. En 1989, quand il habitait à Sylmar, Californie, il a gagné le Tangles Town USA Puzzle Contest organisé par le Los Angeles Times.

Parmi ses 8 carrés : 5 utilisent cette symétrie, 2 utilisent une autre symétrie inhabituelle, et 1 est un carré associatif (69, 245, 11483).

Est-il possible de construire un carré bimagique d'ordre 7 plus petit, avec NbMax<67, ou S1<238, ou S2<10400 ?

Mars 2018 : premier carré semi-bimagique d'ordre 7 de nombres premiers, avec une diagonale bimagique, par Nicolas Rouanet.

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