Problèmes multimagiques non résolus

Beaucoup de problèmes multimagiques ne sont pas encore résolus, c'est ce qui rend ce sujet intéressant et motivant. Le but principal est d'obtenir le maximum de caractéristiques dans le minimum d'espace. "Quel est le plus petit xxx possible" et "Qui sera le premier à yyy" sont les questions favorites.

En voici une liste partielle. Si vous avez des résultats sur des problèmes multimagiques non résolus, envoyez-moi un message ! Je serai heureux d'ajouter vos résultats dans ce site.

Carrés multimagiques utilisant des entiers distincts

• Quel est le plus petit carré bimagique possible utilisant des entiers distincts ? Les ordres 3 et 4 sont prouvés impossibles, et l'ordre 8 est l'ordre minimum permettant des carrés bimagiques normaux (= utilisant des entiers consécutifs). Qui sera le premier à construire un carré bimagique d'ordre 5, 6 ou 7 non-normal ? (non-normal = utilisant des entiers distincts). Ou prouver qu'il est impossible de construire de tels carrés. Exemples d'ordre 6 trouvés en février 2006 par Jaroslaw Wroblewski. Exemples d'ordre 7 trouvés en mai 2006 par Lee Morgenstern. Ordre 5 encore inconnu!
• Quel est le plus petit carré trimagique possible utilisant des entiers distincts ? Les ordres 3 et 4 sont prouvés impossibles, et l'ordre 12 est l'ordre minimum permettant des carrés trimagiques normaux (= utilisant des entiers consécutifs).

Carrés multimagiques normaux (utilisant des entiers consécutifs)

• Qui sera le premier à prouver mathématiquement qu'un carré bimagique d'ordre 7 utilisant des entiers consécutifs est impossible ? Des preuves mathématiques existent pour l'impossibilité des carrés bimagiques pour les ordres < 7, mais aujourd'hui la non-existence d'un carré bimagique d'ordre 7 est "seulement" un résultat obtenu par ordinateur.
• Qui sera le premier à construire un carré bimagique pandiagonal, avec tous ses alignements brisés bimagiques. Aucun n'est connu. Ou qui sera le premier à prouver qu'un tel carré est impossible ? Résolu en février 2006 par Su Maoting (ordre 32). D'où nouveau problème :
• Est-il possible de construire un carré bimagique pandiagonal d'ordre < 32 ?
• Qui sera le premier à construire un carré trimagique d'ordre 13 ou 15 ? Aucun n'est connu. Ou qui sera le premier à prouver que de tels carrés sont impossibles ? Le plus petit carré trimagique possible est d'ordre 12. Les carrés trimagiques d'ordre 14 sont impossibles.
• Quel est le plus petit carré tétramagique possible ? Les ordres < 16 sont impossibles, et le plus petit carré tétramagique connu est d'ordre 243. Qui sera le premier à construire un carré tétramagique d'ordre < 243 ?
• Quel est le plus petit carré pentamagique possible ? Les ordres < 16 sont impossibles, et le plus petit carré pentamagique connu est d'ordre 729. Qui sera le premier à construire un carré pentamagique d'ordre < 729 ?
• Quel est le plus petit carré hexamagique possible ? Les ordres < 20 sont impossibles, et le plus petit carré hexamagique connu est d'ordre 4096. Qui sera le premier à construire un carré hexamagique d'ordre < 4096 ?

Séries multimagiques pour carrés

• Quels sont les nombres des séries trimagiques pour carrés d'ordre 19 et plus ?
• Quels sont les nombres des séries tétramagiques pour carrés d'ordre 19 et plus ?
• Quels sont les nombres des séries pentamagiques pour carrés d'ordre 20 et plus ?
• Quel est le plus petit ordre permettant d'obtenir des séries hexamagiques ? Les plus petits candidats actuels sont les ordres 27 et 40.

Cubes et hypercubes multimagiques

• Quel est le plus petit cube bimagique possible ? Les ordres < 8 sont prouvés impossibles, et le plus petit cube bimagique connu est d'ordre 16. Qui sera le premier à construire un cube bimagique d'ordre < 16 ?
• Quel est le plus petit cube bimagique parfait possible ? Les ordres < 8 sont prouvés impossibles, et le plus petit cube bimagique parfait connu est d'ordre 16. Qui sera le premier à construire un cube bimagique parfait d'ordre < 16 ?
• Quel est le plus petit hypercube bimagique possible ? Le plus petit hypercube bimagique connu (dim 4 = tesseract) est d'ordre 32. Qui sera le premier à construire un hypercube bimagique d'ordre < 32 ?

Séries multimagiques pour cubes

• Quels sont les nombres des séries bimagiques pour cubes d'ordre 14 et plus ?
• Quels sont les nombres des séries trimagiques pour cubes d'ordre 11 et plus ?
• Quel est le plus petit ordre permettant d'obtenir des séries tétramagiques ? Le plus petit candidat actuel est l'ordre 13.

Carrés magiques multiplicatifs

• Est-il possible de construire des carrés magiques additifs-multiplicatifs d'ordre <= 7 ? Non résolu, mais premier carré magique add-mult d'ordre 7 par Sébastien Miquel en août 2016. Ordres 5 et 6 encore inconnus. (Equivalent aux Enigmes 6 et 6a)
• Est-il possible de construire des meilleurs carrés magiques multiplicatifs pandiagonaux d'ordre >= 6?
• Construire les listes des plus petits produits possibles de carrés magiques multiplicatifs d'ordre 8 et plus. Les listes des ordres de 3 à 7 ont déjà été effectuées.
• Quels sont les plus petits nombres maximaux possibles des carrés magiques multiplicatifs d'ordre 8 et plus ? Les plus petits nbs max des ordres 3 à 7 sont déjà connus.
• Quels sont les plus petits produits magiques possibles des carrés magiques multiplicatifs d'ordre 10 et plus ? Les plus petits produits des ordres 3 à 9 sont déjà connus.

Cubes magiques multiplicatifs

• Plus petits nombres maximaux :
• Quel est le plus petit nombre maximum possible des cubes magiques multiplicatifs ? Et quel est l'ordre du cube utilisant ce nombre ? Le plus petit nb max connu est 351, utilisé dans un cube d'ordre 4.
• Quel est le plus petit nombre maximum possible des cubes magiques multiplicatifs parfaits ? Et quel est l'ordre du cube utilisant ce nombre ? Le plus petit nb max connu est 24992, utilisé dans un cube d'ordre 11.
• Quel est le plus petit nombre maximum possible des cubes magiques multiplicatifs pandiagonaux parfaits ? Et quel est l'ordre du cube utilisant ce nombre ? Le plus petit nb max connu est 24992, utilisé dans un cube d'ordre 11.
• Plus petits produits magiques :
• Quel est le plus petit produit magique possible des cubes magiques multiplicatifs d'ordre 4 ? Le plus petit produit connu est 4 324 320.
• Quel est le plus petit produit magique possible des cubes magiques multiplicatifs parfaits ? Et quel est l'ordre du cube utilisant ce produit ? Le plus petit produit connu est 101 625 502 003 200 000, utilisé dans un cube d'ordre 5.
• Quel est le plus petit produit magique possible des cubes magiques multiplicatifs pandiagonaux parfaits ? Et quel est l'ordre du cube utilisant ce produit ? Le plus petit produit connu est 89 518 183 823 250 314 294 722 560 000, utilisé dans un cube d'ordre 8.
• Et plus généralement (voir la table):
• Quels sont les plus petits nombres maximaux possibles et les plus petits produits magiques possibles des cubes magiques multiplicatifs d'ordre 4 et plus ?
• Quels sont les plus petits nombres maximaux possibles et les plus petits produits magiques possibles des cubes magiques multiplicatifs parfaits d'ordre 4 et plus ?
• Quels sont les plus petits nombres maximaux possibles et les plus petits produits magiques possibles des cubes magiques multiplicatifs pandiagonaux parfaits d'ordre 4 et plus ?

Carrés magiques de carrés

Dix problèmes ouverts en provenance de mon article "Some notes on the magic squares of squares problem" publié en 2005, dans The Mathematical Intelligencer. Quelques-uns étaient déjà posés au-dessus, dans cette page.

AB1. Ce carré magique 3x3 utilise 7 entiers carrés distincts. S2 = 541875.
Par Andrew Bremner.

373²	289²	565²
360721	425²	23²
205²	527²	222121

Problèmes 1 à 6 : utilisant des entiers distincts (les entiers peuvent être non consécutifs). Problèmes 7 à 10 : utilisant des entiers consécutifs.

1. Le prix de 100$ offert par Martin Gardner en 1996 pour neuf entiers carrés dans un carré magique 3x3 (ou la preuve de son impossibilité).
2. J'offre ici un prix de 100€ + une bouteille de champagne au premier qui résoudra un problème "plus simple" : fournir un nouvel exemple de carré magique 3x3 utilisant sept entiers carrés distincts, différent de (AB1) et de ses rotations, symétries, ou multiples k². Ou fournir un exemple avec huit entiers carrés distincts. (Equivalent à l'Enigme 1)
3. Quel est le plus petit carré bimagique utilisant des entiers distincts ? Sa taille est inconnue : 5x5, 6x6, ou 7x7 ? Mon sentiment est que les carrés bimagiques 5x5 n'existent pas. Des carrés bimagiques de taille 8x8 et plus sont déjà connus. Non résolu, mais premiers carrés bimagiques 6x6 par Jaroslaw Wroblewski en février 2006, premiers carrés bimagiques 7x7 par Lee Morgenstern en mai 2006. 5x5 encore inconnus. (Equivalent à l'Enigme 2)
4. Construire un carré bimagique utilisant des nombres premiers distincts.^{[9] [50]} Résolu en novembre 2006 par Christian Boyer, avec l'ordre premier 11. Aussi en juin 2014 par Jaroslaw Wroblewski, avec l'ordre 8.
5. Construire le plus petit possible carré magique de cubes : 5a) utilisant des entiers ayant des valeurs absolues différentes, 5b) utilisant des entiers positifs différents. Non résolus, mais premier carré 4x4 semi-magique de cubes par Lee Morgenstern en juin 2006. Le plus petit carré magique connu de cubes est actuellement un carré 7x7, par Sébastien Miquel en février 2015. 4x4, 5x5, 6x6 encore inconnus. (5b sur 4x4 équivalent à l'Enigme 4, et à la partie 8.3 de l'article du Journal of Integer Sequences 2008, voir ici)
6. Construire un carré magique de cubes de nombres premiers.^[9] Résolu en juillet 2007 par Jaroslaw Wroblewski et Hugo Pfoertner, avec l'ordre 42.
7. Construire le plus petit cube magique de carrés (le cube bimagique 16x16x16, quand ses nombres sont élevés au carré, est déjà un cube magique de carrés)
8. Construire un cube bimagique plus petit que 16x16x16.
9. Construire un cube bimagique parfait plus petit que 32x32x32. Résolu en avril 2015 par Zhong Ming, avec les ordres 16 and 25.
10. Démontrer le cas général d'un (2k+1)^k+1 magique. La notation utilisée ici est celle de Richard Schroeppel : un (2k+1)^k+1 magique signifie un hypercube magique parfait d’ordre (2k+1) et de dimension k+1. Le problème 10 est de prouver pour tout k que -si un tel objet existe- son centre est toujours la valeur moyenne des entiers utilisés. Ce problème est évident pour k=1, et a déjà été démontré pour k=2, 3 et 4 par Richard Schroeppel. Par exemple :
• le cas k=1 signifie qu'un carré magique d'ordre 3 a toujours pour centre 5, moyenne des entiers de 1 à 9.
• le cas k=2 signifie qu'un cube magique parfait d'ordre 5 -s'il existe- a toujours pour centre 63, moyenne des entiers de 1 à 125. Voir sa démonstration. Un corollaire est qu'il n'existe pas de 5⁴ magique : il n'existe pas d'hypercube magique parfait d'ordre 5 et de dimension 4.

Carrés magiques de nombres polygonaux

• Qui construira un carré magique 3x3 de nombreux triangulaires distincts, ou son équivalent carré magique 3x3 de carrés ? Ou qui prouvera que c'est impossible?
• Quel est le plus petit carré magique possible de nombres pentagonaux distincts: 3x3, 4x4 or 5x5? Non résolu, mais premiers carrés 4x4 et 5x5 par Lee Morgenstern en novembre 2007. 3x3 encore inconnus.

Enigmes sur les carrés magiques

• Voir ici

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