Cubes magiques parfaits

Quel est le cube parfait le plus petit possible ?

Martin Gardner en 1988 (Tulsa, Oklahoma, 1914 - Norman, Oklahoma, 2010)

Personne n'avait réussi à répondre à la question "Y a-t-il un cube magique parfait d'ordre 5 ? Personne ne sait" posée et popularisée par Martin Gardner dans Scientific American (1976) et dans son livre Time Travel and Other Mathematical Bewilderments (1988).

En novembre 2003, avec mon ami allemand Walter Trump, nous avons construit le premier cube magique parfait d'ordre 5, le cube parfait le plus petit possible.

Premier cube magique parfait d'ordre 5, par Trump & Boyer, 2003.
Ce cube contient tous les entiers de 1 à 53 = 125. Il y a 109 façons d'obtenir la somme magique 315, avec ses 25 lignes, 25 colonnes, 25 piles, 4 triagonales, et 30 diagonales.
Il est impossible de construire un cube magique parfait plus petit.
(cliquer sur l'image pour l'agrandir)


Voir aussi la belle animation 3D sur le site d'Eric Weisstein:
http://mathworld.wolfram.com/news/2003-11-18/magiccube

Il sera impossible de construire un plus petit cube magique parfait : aucun des quatre cubes magiques standards existants d'ordre 3 n'est parfait, et le mathématicien Richard Schroeppel dans un Artificial Intelligence Memo du MIT (1972) prouva qu'un cube magique d'ordre 4 ne peut être parfait.

Pierre de Fermat (Beaumont de Lomagnes 1601 – Castres 1665)

Plus de trois siècles avant, en 1640, Pierre de Fermat envoyait au père Marin Mersenne un cube magique presque parfait d'ordre 4, avec 64 alignements magiques: Fermat a fait une erreur annonçant 72 alignements magiques dans son cube, mais 64 reste un excellent résultat comparé aux 76 alignements magiques théoriques d'un cube magique parfait d'ordre 4 que l'on sait maintenant impossible.

Cube magique presque parfait d'ordre 4, par Fermat, 1640.
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Schroeppel prouva aussi, à l'aide d'algèbre et de raisonnement combinatoire, que si un cube magique parfait d'ordre 5 existe, alors son centre doit être 63 : le centre du cube Trump-Boyer est bien sûr 63.

Quelques explications sur la méthode de construction utilisée pour notre cube. Nous avons d'abord calculé par ordinateur un grand nombre de cubes auxiliaires d'ordre 3. Ces cubes auxiliaires sont "symétriques" autour du centre, ce qui veut dire que les 13 alignements de 3 nombres passant par le centre ont tous pour somme x + 63 + y = 189. Ces cubes auxiliaires ont d'autres caractéristiques partielles de magie : 29 des 49 différents alignements existants (incluant 14 des 18 diagonales, et la totalité des 4 triagonales) ont déjà la même somme = 189. Vous pouvez vérifier ces caractéristiques en regardant le cube central d'ordre 3 inclus dans notre cube magique d'ordre 5. Puis, utilisant ces cubes auxiliaires, nous avons essayé de remplir, toujours par ordinateur les 53 - 33 = 98 nombres manquants en utilisant essentiellement des nombres complémentaires x + 189 + y = 315. C'est pourquoi vous pouvez voir de nombreuses et différentes symétries dans notre cube.

Cinq ordinateurs ont fonctionné sans relâche pendant plusieurs semaines avant de trouver la première solution. Avec cette méthode, il a été très facile de trouver des cubes d'ordre 5 avec 26 diagonales magiques. Et plus de 1500 cubes avec 28 diagonales magiques ont été trouvé avant de découvrir notre premier cube avec 30 diagonales. Nous avons utilisé plus de 80.000 cubes auxiliaires d'ordre 3 avant de trouver cette première solution.

Deux mois avant ce cube d'ordre 5, Walter Trump construisait le premier cube magique parfait d'ordre 6, utilisant en son centre un cube auxiliaire d'ordre 4.

Précédemment, les plus petits cubes parfaits connus étaient d'ordre 7, comme par exemple le cube de Frost (1866).

En décembre 2012, H. B. Meyer, Allemagne, a prouvé que les cubes magiques parfaits "centrosymétriques" d'ordre 5 son impossibles : voir www.hbmeyer.de/backtrack/mq5/eq5x5x5symm.htm

Qu'est-ce qu'un cube magique "parfait" ?

La terminologie utilisée dans ce site pour les cubes multimagiques "parfaits", est la plus communément utilisée : un cube magique parfait est un cube magique dont chaque carré est magique (chaque diagonale du cube est magique, pas seulement les 4 grandes diagonales appelées triagonales).

Définition utilisée par exemple par Martin Gardner (Scientific American, January 1976), par William H. Benson et Oswald Jacoby (Magic Cubes: New Recreations, 1981), ou encore par Clifford A. Pickover (The Zen of Magic Squares, Circles and Stars, 2002). Ou aussi utilisée dans le World of Mathematics d'Eric Weisstein http://mathworld.wolfram.com/PerfectMagicCube.html.

Dans notre cas, cela signifie que chaque carré du cube bimagique d'ordre 32 est bimagique, et que chaque carré du cube trimagique d'ordre 256 est trimagique.

Il existe une autre définition d'un cube "parfait", avec des propriétés supplémentaires de pandiagonalité à atteindre, définie par John R. Hendricks. Les cubes "parfaits" ci-dessus ne sont alors plus appelés parfaits, mais cubes "diagonaux". Voir la page Perfect Magic Cube joliment faite par Harvey D. Heinz.

Quels ont été les premiers cubes parfaits publiés ?

Premier cube parfait d'ordre 7

Le premier cube parfait qui a été publié est d'ordre 7, et a été construit par le Révérend A. H. Frost, M.A. du St. John's College de Cambridge. Frost a été missionnaire dans une ville nommé Nasik en Inde. En mémoire, son cube s'appelle un "Nasik cube", et a été publié en 1866 dans la revue scientifique anglaise The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics.

Dans son livre Time Travel book, Martin Gardner pensait que le premier cube d'ordre 7 avait été publié par Harry Langman en 1962, dans son livre Play Mathematics (Hafner Publishing Company). Gardner se trompait, puisque nous avons trouvé le cube de Frost construit en 1866, soit près d'un siècle avant. Harry Langman était Doctor of Philosophy de l'Université de Columbia, et avait été Professeur de Mathématiques et Président de Département dans trois institutions d'éducation.

Dans ce texte original, vous lirez la méthode facile de construction utilisée. Harry Langman était très modeste : "On se contentera en donnant une illustration d'un cube d'ordre 7". On remplacera par : "On se régalera..."

Premier cube parfait d'ordre 8

Le premier cube parfait publié d'ordre 8 a été construit par Gustavus Frankenstein. Il a été publié dans un vieux journal local américain, The Cincinnati Commercial, du 11 mars 1875. Aussi, ce journal est très difficile à trouver. Et il semble que le texte de l'article n'ait jamais été republié dans aucun autre livre ni article. Bonne nouvelle, nous avons retrouvé le journal original,

et vous pouvez maintenant le lire et télécharger le cube depuis ce site :

Dans ce texte original, vous lirez ce que dit G. Frankenstein au sujet de son cube : "Cette découverte m'a donné une plus grande satisfaction que si j'avais trouvé une mine d'or sous ma porte d'entrée; et c'est un plaisir qui rend la pauvreté plus douce que la richesse de Crésus."

Et il continue : "Peut-être la chose a-t-elle été faite avant". Nous somme presque sûrs, cher Gustavus, que la chose n'avait jamais été faite avant pour l'ordre 8 ! Mais désolé, la chose avait été faite avant pour l'ordre 7.

Cette référence du Cincinnati Commercial est indiquée par exemple dans :

Gustavus était aussi un peintre, comme ses frères. Voir ainsi sa biographie au Springfield Museum of Art ou son autre biographie à AskART (accessible gratuitement tous les vendredis).

Peinture de Gustavus Frankenstein

Treize ans après Frankenstein, un autre américain, Frederick A.P. Barnard publie un cube magique pandiagonal parfait d'ordre 8, avec deux autres cubes d'ordre 11. Voir ces cubes dans la page consacrée aux cubes magiques pandiagonaux parfaits.

Premier cube parfait d'ordre 9

Le premier cube parfait d'ordre 9 a été construit par Charles Planck, M.A., M.R.C.S., Angleterre. Il a été publié dans son livret, The Theory of Path Nasiks, 1905, grandement inspiré par les travaux de Frost.

Premier cube parfait d'ordre 10

Les ordres 4k+2 sont souvent difficiles à construire, à la fois pour les carrés et les cubes magiques.

Le premier cube parfait d'ordre 10 a été reçu en décembre 2003. Li Wen, Chine, indique qu'il l'avait construit dès 1988, mais qu'il ne l'avait jamais publié. Nous connaissions déjà Li Wen pour son excellent carré pentamagique d'ordre 729.

Premier cube parfait d'ordre 11

Les premiers cubes parfaits d'ordre 11 ont été publiés en 1888 par Frederick A.P. Barnard, Président du Columbia College (maintenant Columbia Univ.), New-York , USA. Ses deux cubes d'ordre 11 sont même pandiagonaux parfaits.

Voir les cubes et les deux biographies de Barnard dans la page consacrée aux cubes magiques pandiagonaux parfaits.

Premier cube parfait d'ordre 12

Le premier cube parfait d'ordre 12 a été publié en 1981 par William H. Benson dans son livre Magic Cubes New Recreations.

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