Sudokus et carrés bimagiques
Voir aussi Les ancêtres français du sudoku


Le jeu du Sudoku a un récent et grand succès partout sur la planète, essentiellement depuis 2005. Le lien entre carrés latins et Sudokus a souvent été remarqué, mais il semble que le lien entre carrés bimagiques et Sudokus n'a jamais été remarqué.

Gaston Tarry (Villefranche de Rouergue 1843 - Le Havre 1913)

En 1900, Gaston Tarry fut le premier à prouver le fameux problème des 36 officiers posé par Euler en 1782 : il est impossible d'arranger une délégation de six régiments (chacun d'entre eux envoyant six officiers de grades différents) dans un carré 6x6 de façon à ce que chaque ligne et chaque colonne contienne un officier de chaque régiment et de chaque grade. Tarry a aussi inventé une merveilleuse méthode de construction de carrés multimagiques : le premier article écrit par Tarry sur sa méthode fut présenté par Henri Poincaré dans les Comptes-Rendus de l'Académie des Sciences, en 1906. On peut trouver des détails de sa méthode, avec de nombreuses constructions de carrés bimagiques 8x8 et 9x9 l'utilisant, dans le livre du Général Cazalas publié en 1934, méthode légèrement améliorée par Cazalas. Et la méthode Viricel-Boyer utilisée pour nos carrés tétra et pentamagiques, entièrement décrite dans mon article publié dans Pour La Science en 2001, est fortement inspirée par la méthode Tarry-Cazalas.

Maintenant la principale information: TOUS les carrés bimagiques 9x9 construits avec la méthode Tarry-Cazalas sont une combinaison de 2 Sudokus ! (remarque faite ici en 2006, prouvée en 2011, voir plus bas)

Voici deux Sudokus (chaque sous-carré 3x3 contient les neuf entiers de 1 à 9, et chaque ligne et chaque colonne contient les neuf entiers de 1 à 9):

Sudoku A

 

Sudoku B

2

5

8

1

4

7

3

6

9

2

9

4

6

1

8

7

5

3

1

4

7

3

6

9

2

5

8

7

5

3

2

9

4

6

1

8

3

6

9

2

5

8

1

4

7

6

1

8

7

5

3

2

9

4

8

2

5

7

1

4

9

3

6

9

4

2

1

8

6

5

3

7

7

1

4

9

3

6

8

2

5

5

3

7

9

4

2

1

8

6

9

3

6

8

2

5

7

1

4

1

8

6

5

3

7

9

4

2

5

8

2

4

7

1

6

9

3

4

2

9

8

6

1

3

7

5

4

7

1

6

9

3

5

8

2

3

7

5

4

2

9

8

6

1

6

9

3

5

8

2

4

7

1

8

6

1

3

7

5

4

2

9

Ces Sudokus ont de belles propriétés supplémentaires, par exemple si l'on déplace une colonne ou plus d'un côté au côté opposé, ils restent des Sudokus : les nouveaux sous-carrés 3x3 contiennent toujours tous les entiers de 1 à 9. Idem si l'on déplace des lignes d'un côté au côté opposé.

Construisons maintenant un carré 9x9 dans lequel chaque cellule utilise les deux cellules correspondantes des Sudokus A et B, en leur appliquant la formule :

9(A - 1) + B

Alors vous obtenez un carré bimagique construit avec la méthode Tarry-Cazalas !

Carré bimagique construit
avec le Sudoku A et le Sudoku B

11

45

67

6

28

62

25

50

75

7

32

57

20

54

76

15

37

71

24

46

80

16

41

66

2

36

58

72

13

38

55

8

33

77

21

52

59

3

34

81

22

47

64

17

42

73

26

51

68

12

43

63

4

29

40

65

18

35

60

1

48

79

23

30

61

5

49

74

27

44

69

10

53

78

19

39

70

14

31

56

9

Ce carré est bimagique :

Et il a des propriétés bimagiques supplémentaires :

Vous pouvez obtenir un autre carré bimagique en utilisant l'autre formule  :

9(B - 1) + A

Bien sûr, tous les couples de Sudokus ne donnent pas un carré bimagique, et tous les carrés bimagiques (ceux non construits avec la méthode Tarry-Cazalas) ne proviennent pas d'un couple de Sudokus. Par exemple le premier carré bimagique 9x9 publié par G. Pfeffermann ne peut pas être construit pas la méthode Tarry-Cazalas, ce qui signifie qu'il n'est pas une combinaison de 2 Sudokus.


Articles et livres de Donald Keedwell

En 2011, A. Donald Keedwell, Department of Mathematics, University of Surrey, Angleterre (voir sa photo et autres travaux ici) a publié deux intéressants articles :

  • "Gaston Tarry and multimagic squares", The Mathematical Gazette, Vol. 95, N. 534, novembre 2011, pp. 545-468
  • "Confirmation of a conjecture concerning orthogonal Sudoku and bimagic squares", Bulletin of the ICA (Institute of Combinatorics and its Applications), Vol. 63, 2011, pp. 39-47

Il explique la méthode Tarry-Cazalas de construction de carrés bimagiques, prouve mathématiquement ma remarque ci-dessus de 2006 sur la combinaison de deux Sudokus dans tout carré bimagique 9x9 de Tarry, et étend ses remarques aux carrés bimagiques p²xp² pour tout premier impair sauf cinq.

< La couverture de ce numéro de The Mathematical Gazette, avec Gaston Tarry

En 2015, Donald Keedwell a publié la seconde édition de son fameux livre "Latin Squares and their Applications" écrit avec Jószef Dénes, avant-propos de Paul Erdös, initialement publié en 1974.

Pages 221 et 222, les carrés multimagiques sont définis, et les travaux de Tarry sont mentionnés.
Notre travail et site web sont référencés dans plusieurs pages : 205, 345, 346 (problème 6.3 de Dénes-Keedwell-Erdös sur les carrés add-mult), et 369.
Merci Donald !

La couverture de cette seconde édition >
"
The three squares on the front cover of my book are mutually orthogonal latin squares and so form (are equivalent to) a projective plane of order 4.
Thus, the cover of the 2nd edition is (almost) the same as the dust cover of the 1st edition.
Two of the squares are (double) diagonal (maximum possible) and the third is unipotent and symmetric.
"
Donald Keedwell, communication personnelle, 20 février 2017
 


Au sujet de Gaston Tarry

Comme nous l'avons vu ci-dessus, Gaston Tarry est bien connu pour sa preuve du problème des 36 officiers d'Euler, et pour sa méthode de construction de carrés multimagiques. Mais aussi :


Carré bimagique Nakamura-Taneja

En réorganisant les cellules d'un carré magique (mais pas bimagique) précédemment créé par Mitsutoshi Nakamura empilant neuf Sudokus carrés latins, Inder J. Taneja a construit ce très beau carré bimagique 9x9 : chaque nombre a 9 chiffres et contient tous les chiffres de 1 à 9, amusant et étonnant ! Plus de détails et de carrés dans son article http://rgmia.org/papers/v18/v18a159.pdf (carré en dessous page 11, résultat 22).

Juillet 2015: carré bimagique de Nakamura et Taneja
S1 = 4999999995 et S2 = 3376740371623259625
dans 9 lignes, 9 colonnes, 2 diagonales et 9 sous-carrés (3x3)

123456789

297531864

345678912

486729153

561894237

618942375

759183426

834267591

972315648

459783126

534867291

672915348

723156489

897231564

945378612

186429753

261594837

318642975

786129453

861294537

918342675

159483726

234567891

372615948

423756189

597831264

645978312

378612945

156489723

231564897

642975318

429753186

594837261

915348672

783126459

867291534

615948372

483726159

567891234

978312645

756189423

831264597

342675918

129453786

294537861

942375618

729153486

894237561

315648972

183426759

267591834

678912345

456789123

531864297

264597831

312645978

189423756

537861294

675918342

453786129

891234567

948372615

726159483

591834267

648972315

426759183

864297531

912345678

789123456

237561894

375618942

153486729

837261594

975318642

753186429

291534867

348672915

126459783

564897231

612945378

489723156


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